Hiperboloide

La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es

,

en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).

La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.

Ecuaciones del hiperboloideEditar

Ecuación CartesianaEditar

 
Generación de un hiperboloide.
 
Superficie matemática del hiperboloide de una hoja
 
Superficie matemática del hiperboloide de una hoja

Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas  , cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

 

es decir

 .

Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:

 

la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego:  

Si se gira alrededor del eje Y, de vector director  , entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:

 

Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director  , entonces Z aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:

 

Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se obtiene una de estas dos ecuaciones:

             
(una hoja)                                  (dos hojas)

Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma:

 

Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección de los   por el factor  , multiplicando las distancias en los   por  , y en los   por  . Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma. En el caso particular que  , entonces el hiperboloide es de revolución.

Ecuación paramétricaEditar

En un espacio euclídeo tridimensional, los puntos de la superficie del hiperboloide pueden ser parametrizados de la siguiente manera:

 

 


Parametrización sin usar las funciones hiperbólicas:

 

 

ÁreaEditar

La superficie de un hiperboloide de una hoja de altura h, situado entre los planos   y   y de sección transversal circular, es decir,  . Su ecuación queda de la forma   .

Si  


 
Demostración
  • En este caso vamos a utilizar la parametrización:
 
  • Para el cálculo del área vamos a hacer uso de las propiedades de la integral de superficie:
 
 

VolumenEditar

El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja   y los planos z=h/2 y z=-h/2 .

 


Demostración
  • Para hallar el volumen vamos a utilizar la propiedades de la integrales múltiples. Utilizamos coordenadas cilíndricas:


 
 
 
 


SeccionesEditar

 
Sección de un hiperboloide de una hoja.
 
Sección de un hiperboloide de dos hojas.


La sección producida por un plano perpendicular al eje es una elipse.La ecuación de un plano cualquiera   cuya intersección con el hiperboloide nos dará una elipse de ecuación:

 .

El caso particular dónde   la sección producida por el plano será una circunferencia. La elipse menor de todas las posibles recibe el nombre de elipse de garganta.


La sección producida por un plano paralelo a su eje es una hipérbola de distintas orientaciones. Un plano, por ejemplo, de ecuación   corta el hiperboloide según la curva de ecuación

 .

Dependiendo del valor de   se obtienen las siguientes curvas:


  • Hipérbola con hojas en horizontal:  


  • Hipérbola con hojas en vertical:  


  • Un par de rectas que se cortan :  


La sección producida por un plano inclinado respecto del eje de revolución es una elipse, de ecuación:

 


En las figuras se representa la sección de hiperboloides, de una y dos hojas, cortados por un plano paralelo a su eje de revolución, y por otro perpendicular.

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar