Identidad de Euler

En matemáticas, la identidad de Euler (también conocida como ecuación de Euler) es la igualdad:

$e^{i\pi }+1=0$

donde:

$e$ es el número de Euler, la base de los logaritmos naturales

$i$ es la unidad imaginaria, que por definición satisface $i^{2}=-1$

$\pi$ es el número pi, es la relación constante entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana.

$1$ es el número uno, el elemento neutro de la multiplicación, y la división.

$0$ es el número cero, el elemento neutro entre la suma y la resta.

Esta identidad es considerada una belleza matemática por vincular distintas áreas de esa ciencia formal que parecen distintas y sin relación alguna a simple vista.

Explicación

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad se deduce a partir de un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

$e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x\,\!$

para cualquier número real x, con los argumentos de las funciones trigonométricas sen y cos expresados en radianes. En particular si

$x=\pi \,\!$

entonces

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\operatorname {sen} \pi \,\!$

y ya que

$\cos \pi =-1\,\!$

y que

$\operatorname {sen} \pi =0\,\!$

se sigue que

$e^{i\pi }=-1+0\,\!$

Lo cual implica la identidad

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

$x=i\pi ,\,\!$

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...,\,\!$

para obtener:

$e^{i\pi }=1+i\pi +{\frac {(i\pi )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\pi )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\pi )^{4}}{4!}}+...,\,\!$

simplificando (usando $i^{2}=-1$):

$e^{i\pi }=1+i\pi -{\frac {\pi ^{2}}{2!}}-{\frac {i\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+...,\,\!$

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

$i(\pi -{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{5}}{5!}}-{\frac {\pi ^{7}}{7!}}+...)=0\quad ;\quad (1-{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}-{\frac {\pi ^{6}}{6!}}+...)=-1\!$

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

$e^{i\pi }=-1\,\!$

Logaritmos de números negativos

El logaritmo natural de un número complejo $z=a+bi$, donde $a,b\in \mathbb {R}$, se define como:

$\ln(z)=\ln |z|+i\arg(z)$

Donde $\arg(z)=\arg(a+bi)$ es:

$\arg(a+bi)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)&\qquad a>0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi &\qquad a<0,b\geq 0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)-\pi &\qquad a<0,b<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad a=0,b>0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad a=0,b<0\\{\text{indeterminado}}&\qquad a=0,b=0\end{cases}}$

Notar que con esta definición, arg(z) está en el intervalo $(-\pi ,\pi ]$ (el argumento en este intervalo es conocido como el "valor principal del argumento" o simplemente "argumento principal"). Esta definición no es la única posible, ya que se pudo haber definido en [0, 2π), etc.

Para logaritmos de otras bases, se tiene la siguiente relación mediante "cambio de base" :

$\log _{b}(z)={\frac {\ln(z)}{\ln(b)}}$

Por ejemplo :

$\ln(-1)=\ln |-1|+i\arg(-1)=\ln(1)+i\pi =i\pi$

Y también se cumple:

$\ln(-x)=\ln(x)+\ln(-1)=\ln(x)+i\pi ,x>0$.

Lo anterior se puede deducir de la definición. También se puede obtener $i\pi =\ln(-1)$ a partir de la identidad de Euler, pero no es la razón de la deducción de ln(-1). Este detalle se explicará a continuación.

Se sabe que $e^{i\pi }=-1$, pero también es cierto que $e^{-i\pi }=-1$ y $e^{3i\pi }=-1$. De hecho en general:

$e^{i\pi (2k+1)}=-1,k\in \mathbb {Z}$

El error que se puede cometer aquí, es que si $e^{a}=e^{b}$, entonces a = b. Lo anterior es válido si a y b son números reales, pero en complejos esto no se siempre se cumple. Por ende si bien $e^{i\pi }=e^{-i\pi }=-1$, no es cierto que $i\pi =-i\pi$. De esta forma, se puede ver que:

$\ln(-1)=i\pi \neq -i\pi =-\ln(-1)$.

Antes se mencionó que si se puede obtener $i\pi =\ln(-1)$ con la identidad de Euler, pero no es recomendable hacerlo, porque se puede cometer errores como lo descrito más arriba, ya que no siempre se cumple el hecho de que si $e^{a}=b$ entonces a = ln(b).

Otro error es lo siguiente:

$\ln(-1)=\ln(-1/1)=\ln(1/-1)=\ln(1)-\ln(-1)=-i\pi$.

El error aquí ocurre en $\ln(1/-1)=\ln(1)-\ln(-1)$. Esto último no es correcto y el motivo es que

$\ln(1/-1)=\ln(1*(-1)^{-1})=\ln(1)+\ln((-1)^{-1})\neq \ln(1)+(-1)\ln(-1)=-i\pi$.

Porque $\ln(a^{b})=b\ln(a)$ solo se cumple de manera general si a es positivo. Por un lado $\ln((-e)^{2})=\ln((e)^{2})=2$, pero $2\ln(-e)$ no es real, puesto que ln(-e) no es un número real.

Identidad aumentada

El número áureo (también llamado número de oro) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988....

Una de sus propiedades es:

$\varphi -1=1/\varphi$

Por tanto: $\varphi -1/\varphi =1$

Reemplazando '1' en la identidad de Euler, $e^{i\pi }+1=0$, se tiene:

$e^{i\pi }+({\displaystyle \varphi -1/\varphi })=0$

Por tanto:

$e^{i\pi }+{\displaystyle \varphi -1/\varphi }=0$

${\frac {\varphi \cdot e^{i\pi }+\varphi ^{2}-1}{\varphi }}=0$

$\varphi \cdot e^{i\pi }+\varphi ^{2}-1=0$

Ordenando los términos de la ecuación queda:

$\varphi ^{2}+\varphi \cdot e^{i\pi }-1=0$

De esta manera se relacionan seis números muy utilizados, cinco operaciones de las matemáticas y la ecuación cuadrática.

Historia

Si bien la identidad de Euler es un resultado directo de la fórmula de Euler, publicada en su obra monumental de análisis matemático en 1748, Introductio in analysin infinitorum,​ es cuestionable si el concepto particular de vincular cinco constantes fundamentales en una forma compacta se puede atribuir al propio Euler, ya que es posible que nunca lo haya expresado.​

Robin Wilson afirma lo siguiente.​

Hemos visto cómo [la identidad de Euler] se puede deducir fácilmente de los resultados de Johann Bernoulli y Roger Cotes, pero ninguno de ellos parece haberlo hecho. Incluso Euler no parece haberlo escrito explícitamente, y ciertamente no aparece en ninguna de sus publicaciones, aunque seguramente debe haberse dado cuenta de que se deriva inmediatamente de su identidad [es decir, Fórmula de Euler], e^ix = cos x + i sin x. Además, parece que se desconoce quién fue el primero en afirmar explícitamente el resultado….

Véase también

• Leonhard Euler
• Fórmula de Euler
• Fórmula de De Moivre
• Número áureo

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Euler Formula». MathWorld--A Wolfram Web Resource (en inglés). Consultado el 15 de mayo de 2009. 

Fuentes

• Conway, John H., y Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer ISBN 978-0-387-97993-9
• Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-328-3
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books ISBN 0-14-014574-5
• Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
• Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books .
• Wells, David (1990). «Are these the most beautiful?». The Mathematical Intelligencer 12 (3): 37-41. S2CID 121503263. doi:10.1007/BF03024015. 
• Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-192-51406-6 .
• Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), «The experience of mathematical beauty and its neural correlates», Frontiers in Human Neuroscience 8: 68, PMC 3923150, PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068 .

• Datos: Q204819