Anexo:Identidades trigonométricas

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Todas las funciones en O
Trigonometría
Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.svg
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·Circunferencia goniométrica
Funciones, leyes y teoremas
Funciones e (inversas)
·Senos ·Cosenos ·Tangentes ·Cotangentes
·Teorema de Pitágoras·Identidades y fórmulas de trigonometría
Cálculo infinitesimal
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Temas relacionados
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Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Las funciones están ligadas por operaciones racionales y por potencias de exponente entero, aunque en algunos casos se recurre a la raíz cuadrada. Los ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actúan como argumento de alguna función.

Nota: la notación se define como . Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricasEditar

 
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra
  •   en   de hipotenusa igual a uno, cateto adyacente  , cateto opuesto  , respecto a  
  •  
  •  
  •  
  •  [1]

Relaciones básicasEditar

Periodicidad    
Simetría  
Relación pitagórica  
Identidad de la razón  

De estas identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Para obtener el signo correcto en algunos casos se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco[2]
En términos de            
             
             
             
             
             
             

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

 
 

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

 
 
 
 

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

 

donde

  si α es positivo y   si no.

Usando la función Atan2 también puede escribirse como

 .

La identidad

 

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

 

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

 

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

 
 

Ejemplo 2:

 
           

Identidades de suma y diferencia de ángulosEditar

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

 

 

 

 
Triángulo usado para demostrar el resultado del seno de la suma de dos ángulos.

Primera demostración por semejanza de triángulos:

Para comprobar     hace falta substituir las relaciones trigonométricas del dibujo construible:

 

simplificando   y sacando factor común   queda:

 

como  :

 

confirmándose el resultado por semejanza de triángulos.

 
Dibujo para demostrar una identidad trigonométrica.

Segunda demostración por áreas de triángulos:

La relación entre áreas del dibujo es:

 

aplicando fórmulas de áreas y con   se obtiene:

 

simplificando:

 .

Demostración de     aplicando la identidad antes demostrada:

       .

Demostración de     aplicando la primera identidad:

     .

Demostración de     aplicando la identidad antes demostrada:

         .

Demostración de  

       .

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

 
 
 
 

Para ángulos complementarios:

 
 
 
 
 
 

Para ángulos opuestos:

 
 
 
 
 
 

Otras relaciones:

 

Identidades del ángulo múltipleEditar

Si   es el  -ésimo polinomio de Chebyshev entonces

 

Fórmula de De Moivre:

 

Fórmulas del ángulo dobleEditar

Fórmulas para ángulos dobles.

 

Fórmulas del ángulo tripleEditar

Fórmulas para ángulos triples.

 

Fórmulas del ángulo mitadEditar

 

Además

 

TablaEditar

Estas identidades pueden ser demostradas utilizando las identidades de la suma y diferencia o las fórmulas para ángulos múltiples.

Fórmulas del ángulo doble
       
Fórmulas del ángulo triple
       
Fórmulas del ángulo mitad
       

Producto infinito de Leonhard EulerEditar

 

Fórmulas de reducción de potenciasEditar

Se obtienen al resolver la segunda y la tercera versiones de las fórmulas del coseno del ángulo doble.

Seno        
Coseno        
Otros        

Y en términos generales de potencias de   o  , las siguientes identidades son ciertas y pueden ser obtenidas utilizando la fórmula de De Moivre, la fórmula de Euler y el teorema del binomio.

Para   impar

 

Para   par

 

Paso de producto a sumaEditar

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

 

 

 

 

Demostración
 

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

 

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1):  
2):  

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3):  

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

 

Simplificando el elemento sen(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

 

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

 

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

 

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a productoEditar

 

 

 

 

 

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (ab) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a productoEditar

1).  
2).  
Demostración:

De la suma y diferencia de ángulos se tiene:

 
 
 

De la relación pitagórica tenemos:

 
 

Luego:

 
 

Análogamente se puede demostrar la otra relación.

Paso de senos y cosenos a tangentesEditar

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible expresar senos y cosenos en tangentes.

 
 
 
 

Funciones trigonométricas inversasEditar

 
 

Composición de funciones trigonométricasEditar

Los resultados de hacer la composición entre funciones trigonométricas con funciones trigonométricas inversas son los siguientes:

 

Fórmulas de productos infinitosEditar

Las siguientes fórmulas de productos infinitos para funciones trigonométricas pueden ser útiles:

 

Fórmula de EulerEditar

 
 

Teorema del cosenoEditar

Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

 

Teorema del senoEditar

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

 

AplicaciónEditar

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados para posteriormente identificar los valores de las funciones trigonométricas.

Definiciones exponencialesEditar

La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:

Función Función inversa
   
   
   
   
   
   
   

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. V. Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales, Editorial Euro-Omega, Madrid 1995, pág. 29
  2. Trigonometría (Segunda edición). Limusa(Noriega editores). ISBN 968-18-5617-1.  El recuadro se parece mucho pero el libro tiene un lapsus en la última casilla.

BibliografíaEditar

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externosEditar