Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Las funciones están ligadas por operaciones racionales y por potencias de exponente entero, aunque en algunos casos se recurre a la raíz cuadrada. Los ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actúan como argumento de alguna función.
Nota: la notación
sen
2
α
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\alpha }
se define como
(
sen
α
)
2
{\displaystyle (\operatorname {sen} \alpha )^{2}}
. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.
Funciones trigonométricas Editar
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra
sen
θ
=
y
,
cos
θ
=
x
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta =y{\text{, }}\cos \theta =x}
en
Δ
R
{\displaystyle \Delta R}
de hipotenusa igual a uno, cateto adyacente
x
{\displaystyle x}
, cateto opuesto
y
{\displaystyle y}
, respecto a
θ
.
{\displaystyle \theta .}
tan
θ
=
sen
θ
cos
θ
,
θ
≠
π
2
+
π
k
p
a
r
a
k
∈
Z
.
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }},{\text{ }}\theta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi k\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}
cot
θ
=
cos
θ
sen
θ
,
θ
≠
π
k
p
a
r
a
k
∈
Z
.
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }},{\text{ }}\theta \neq \pi k\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}
sec
θ
=
1
cos
θ
,
θ
≠
π
2
+
π
k
,
p
a
r
a
k
∈
Z
.
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},{\text{ }}\theta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi k,\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}
csc
θ
=
1
sen
θ
,
θ
≠
π
k
,
p
a
r
a
k
∈
Z
.
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }},{\text{ }}\theta \neq \pi k,\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}
[ 1]
Relaciones básicas Editar
Periodicidad
2
π
{\displaystyle 2\pi }
cos
θ
=
sen
(
π
2
+
θ
)
{\displaystyle \cos \theta =\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}
Simetría
sen
θ
=
−
sen
(
−
θ
)
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta =-\operatorname {sen}(-\theta )}
Relación pitagórica
sen
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}
Identidad de la razón
tan
θ
=
sen
θ
cos
θ
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}}
De estas identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Para obtener el signo correcto en algunos casos se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco[ 2]
En términos de
sen
{\displaystyle \operatorname {sen} }
cos
{\displaystyle \cos }
tan
{\displaystyle \tan }
cot
{\displaystyle \cot }
sec
{\displaystyle \sec }
csc
{\displaystyle \csc }
sen
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta }
sen
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta }
cos
(
3
π
2
+
θ
)
{\displaystyle \cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
1
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
sec
2
θ
−
1
sec
θ
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}
1
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
sen
(
π
2
+
θ
)
{\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta \ }
1
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
cot
θ
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
1
sec
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}
csc
2
θ
−
1
csc
θ
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta }
sen
θ
sen
(
π
2
+
θ
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}}}
cos
(
3
π
2
+
θ
)
cos
θ
{\displaystyle {\frac {\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}{\cos \theta }}}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta \ }
1
cot
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}
1
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta }
sen
(
π
2
+
θ
)
sen
θ
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}{\operatorname {sen} \theta }}}
cos
θ
cos
(
3
π
2
+
θ
)
{\displaystyle {\frac {\cos \theta }{\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}}}
1
tan
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \ }
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta }
1
sen
(
π
2
+
θ
)
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}}}
1
cos
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}
1
+
cot
2
θ
cot
θ
{\displaystyle {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta \ }
csc
θ
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle {\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta }
1
sen
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}}
1
cos
(
3
π
2
+
θ
)
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}}}
1
+
tan
2
θ
tan
θ
{\displaystyle {{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }}
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}
sec
θ
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle {\sec \theta \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta \ }
De las definiciones de las funciones trigonométricas:
tan
x
=
sen
x
cos
x
cot
x
=
1
tan
x
=
cos
x
sen
x
{\displaystyle \tan {x}={\frac {\operatorname {sen} {x}}{\cos {x}}}\qquad \cot {x}={\frac {1}{\tan {x}}}={\frac {\cos {x}}{\operatorname {sen} {x}}}}
sec
x
=
1
cos
x
csc
x
=
1
sen
x
{\displaystyle \sec {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \csc {x}={\frac {1}{\operatorname {sen} {x}}}}
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):
sen
(
x
)
=
sen
(
x
+
2
π
)
cos
(
x
)
=
cos
(
x
+
2
π
)
tan
(
x
)
=
tan
(
x
+
π
)
{\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\operatorname {sen}(x+2\pi )\qquad \cos(x)=\cos(x+2\pi )\qquad \tan(x)=\tan(x+\pi )}
sen
(
−
x
)
=
sen
(
x
+
π
)
cos
(
−
x
)
=
−
cos
(
x
+
π
)
{\displaystyle \operatorname {sen}(-x)=\operatorname {sen}(x+\pi )\qquad \cos(-x)=-\cos(x+\pi )}
tan
(
−
x
)
=
−
tan
(
x
)
cot
(
−
x
)
=
−
cot
(
x
)
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)\qquad \cot(-x)=-\cot(x)}
sen
(
x
)
=
cos
(
π
2
−
x
)
cos
(
x
)
=
sen
(
π
2
−
x
)
tan
(
x
)
=
cot
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \cos(x)=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:
a
sen
(
x
)
+
b
cos
(
x
)
=
a
2
+
b
2
⋅
sen
(
x
+
φ
)
{\displaystyle a\operatorname {sen}(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \operatorname {sen} \left(x+\varphi \right)}
donde
φ
=
a
r
c
t
a
n
(
b
/
a
)
{\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(b/a)}
si α es positivo y
φ
=
a
r
c
t
a
n
(
b
/
a
)
+
π
{\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(b/a)+\pi }
si no.Usando la función Atan2 también puede escribirse como
a
sen
(
x
)
+
b
cos
(
x
)
=
a
2
+
b
2
⋅
sen
(
x
+
atan2
(
b
,
a
)
)
{\displaystyle a\operatorname {sen}(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \operatorname {sen} \left(x+\operatorname {atan2} (b,a)\right)}
.La identidad
sen
2
(
x
)
+
cos
2
(
x
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\left(x\right)+\cos ^{2}\left(x\right)=1}
Es llamada identidad trigonométrica fundamental , y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:
tan
2
(
x
)
+
1
=
sec
2
(
x
)
{\displaystyle \tan ^{2}\left(x\right)+1=\sec ^{2}\left(x\right)}
Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:
cot
2
(
x
)
+
1
=
csc
2
(
x
)
{\displaystyle \cot ^{2}\left(x\right)+1=\csc ^{2}\left(x\right)}
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
sen
(
x
)
=
1
−
cos
2
(
x
)
sen
(
x
)
=
tan
x
1
+
tan
2
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {\tan {x}}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}}
sen
(
x
)
=
1
1
+
cot
2
(
x
)
sen
(
x
)
=
1
sec
x
sec
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(x)}}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sec {x}}}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}
Ejemplo 2 :
sec
2
t
−
1
sec
2
t
=
sen
2
t
{\displaystyle {\frac {\sec ^{2}t-1}{\sec ^{2}t}}=\operatorname {sen} ^{2}t}
sec
2
t
−
1
sec
2
t
=
{\displaystyle {\frac {\sec ^{2}t-1}{\sec ^{2}t}}=}
1
cos
2
t
−
1
1
cos
2
t
=
{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{\cos ^{2}t}}-1}{\frac {1}{\cos ^{2}t}}}=}
cos
2
t
(
1
cos
2
t
−
1
)
=
{\displaystyle \cos ^{2}t\left({\frac {1}{\cos ^{2}t}}-1\right)=}
cos
2
t
(
1
−
cos
2
t
cos
2
t
)
=
{\displaystyle \cos ^{2}t\left({\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}\right)=}
1
−
cos
2
t
=
{\displaystyle 1-\cos ^{2}t=}
sen
2
t
.
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}t.}
Identidades de suma y diferencia de ángulos Editar
Identidades del ángulo múltiple Editar
Fórmulas de reducción de potencias Editar
Paso de producto a suma Editar
Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.
sen
x
sen
y
=
cos
(
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
)
2
{\displaystyle \operatorname {sen} x\operatorname {sen} y={\cos(x-y)-\cos(x+y) \over 2}}
cos
x
cos
y
=
cos
(
x
+
y
)
+
cos
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \cos x\cos y={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}
sen
x
cos
y
=
sen
(
x
+
y
)
+
sen
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \operatorname {sen} x\cos y={\operatorname {sen}(x+y)+\operatorname {sen}(x-y) \over 2}}
cos
x
sen
y
=
sen
(
x
+
y
)
−
sen
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \cos x\operatorname {sen} y={\operatorname {sen}(x+y)-\operatorname {sen}(x-y) \over 2}}
Demostración
cos
(
x
)
cos
(
y
)
=
cos
(
x
+
y
)
+
cos
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
cos
(
x
±
y
)
=
cos
(
x
)
cos
(
y
)
∓
sen
(
x
)
sen
(
y
)
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}
Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1):
cos
(
x
+
y
)
=
cos
(
x
)
cos
(
y
)
−
sen
(
x
)
sen
(
y
)
{\displaystyle \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}
2):
cos
(
x
−
y
)
=
cos
(
x
)
cos
(
y
)
+
sen
(
x
)
sen
(
y
)
{\displaystyle \cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3):
cos
(
x
)
cos
(
y
)
=
cos
(
x
+
y
)
+
sen
(
x
)
sen
(
y
)
{\displaystyle \cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:
cos
(
x
)
cos
(
y
)
+
sen
(
x
)
sen
(
y
)
+
cos
(
x
)
cos
(
y
)
=
cos
(
x
+
y
)
+
sen
(
x
)
sen
(
y
)
+
cos
(
x
−
y
)
{\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)+\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)+\cos(x-y)}
Simplificando el elemento sen(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:
2
cos
(
x
)
cos
(
y
)
=
cos
(
x
+
y
)
+
cos
(
x
−
y
)
{\displaystyle 2\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\cos(x-y)}
Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:
cos
(
x
)
cos
(
y
)
=
cos
(
x
+
y
)
+
cos
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}
Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:
sen
(
x
)
sen
(
y
)
=
cos
(
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
)
2
{\displaystyle \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)={\cos(x-y)-\cos(x+y) \over 2}}
Notar el cambio de signo.
Paso de suma a producto Editar
sen
a
+
sen
b
=
2
sen
(
a
+
b
2
)
cos
(
a
−
b
2
)
{\displaystyle \operatorname {sen} a+\operatorname {sen} b=\;\;\;2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}
sen
a
−
sen
b
=
2
cos
(
a
+
b
2
)
sen
(
a
−
b
2
)
{\displaystyle \operatorname {sen} a-\operatorname {sen} b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}
cos
a
+
cos
b
=
2
cos
(
a
+
b
2
)
cos
(
a
−
b
2
)
{\displaystyle \cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}
cos
a
−
cos
b
=
−
2
sen
(
a
+
b
2
)
sen
(
a
−
b
2
)
{\displaystyle \cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}
tan
a
±
tan
b
=
sen
(
a
±
b
)
cos
a
cos
b
{\displaystyle \tan a\pm \tan b={\frac {\operatorname {sen}(a\pm b)}{\cos a\cos b}}}
Reemplazando x por (a + b ) / 2 e "y por (a – b ) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:
Paso de diferencia de cuadrados a producto Editar
Paso de senos y cosenos a tangentes Editar
Funciones trigonométricas inversas Editar
Fórmulas de productos infinitos Editar
Las siguientes fórmulas de productos infinitos para funciones trigonométricas pueden ser útiles:
sen
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
π
2
n
2
)
cos
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
π
2
(
n
−
1
2
)
2
)
senh
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
π
2
n
2
)
cosh
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
π
2
(
n
−
1
2
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\\\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\\\operatorname {senh} x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\\\operatorname {cosh} x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
Fórmula de Euler Editar
e
+
i
x
=
cos
(
x
)
+
i
sen
(
x
)
{\displaystyle e^{+\mathrm {i} x}=\cos {\left(x\right)}+\mathrm {i} \operatorname {sen} {\left(x\right)}}
e
−
i
x
=
cos
(
x
)
−
i
sen
(
x
)
{\displaystyle e^{-\mathrm {i} x}=\cos {\left(x\right)}-\mathrm {i} \operatorname {sen} {\left(x\right)}}
Teorema del coseno Editar
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a , b , c , los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
Teorema del seno Editar
En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C
a
sen
(
A
)
=
b
sen
(
B
)
=
c
sen
(
C
)
{\displaystyle {\frac {a}{\operatorname {sen}(A)}}={\frac {b}{\operatorname {sen}(B)}}={\frac {c}{\operatorname {sen}(C)}}}
El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados para posteriormente identificar los valores de las funciones trigonométricas.
La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:
Función
Función inversa
sen
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,}
arcsen
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arcsen} x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}
cos
θ
=
e
i
θ
+
e
−
i
θ
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,}
arccos
x
=
−
i
ln
(
x
−
x
2
−
1
)
{\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,}
tan
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,}
arctan
x
=
i
2
ln
(
i
+
x
i
−
x
)
{\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,}
csc
θ
=
2
i
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}
arccsc
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
1
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}
sec
θ
=
2
e
i
θ
+
e
−
i
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,}
arcsec
x
=
−
i
ln
(
1
x
+
1
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{x^{2}}}-1}}\right)\,}
cot
θ
=
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}
arccot
x
=
i
2
ln
(
x
−
i
x
+
i
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,}
cis
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,}
arccis
x
=
ln
x
i
{\displaystyle \operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}\,}
Véase también Editar
↑ V. Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales , Editorial Euro-Omega, Madrid 1995, pág. 29
↑ Trigonometría (Segunda edición). Limusa(Noriega editores). ISBN 968-18-5617-1 . El recuadro se parece mucho pero el libro tiene un lapsus en la última casilla.
Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada ", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7 . Enlaces externos Editar