Abrir menú principal

Identidades y fórmulas de trigonometría

artículo de lista de Wikimedia
(Redirigido desde «Identidades trigonométricas»)
Todas las funciones en  O.
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.

Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Son ligadas las funciones por operaciones racionales, potencias de exponente entero. En las fórmulas aún se acude a raíz cuadrada. Los ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actúan como argumento de alguna función.


Nota: se define como . Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricasEditar

  • sen α = y, cos α = x en ΔR de hipotenusa 1, cateto contiguo x, cateto opuesto y, respecto a α;
  • tg α = sen α: cos α ; α≠ π//2 + πk, para k entero.
  • ctg α = cos α : sen α ; α ≠ πk, para k entero.
  • sec α = 1/cos α, α≠ π/2 + πk, para k entero.
  • cosec α = 1/sen α; α ≠ πk, para k entero. [1]

Relaciones básicasEditar

Periodicidad    
Simetría  
Relación pitagórica  
Identidad de la razón  

De estas identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Para obtener el signo correcto en algunos casos se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.[2]
En términos de            
             
             
             
             
             
             

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

 
 

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

 
 
 
 

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

 

donde

  si α es positivo y   si no.

Usando la función Atan2 también puede escribirse como

 .

La identidad

 

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

 

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

 

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

 
 

Ejemplo 2:

 
           

Teoremas de la suma y diferencia de ángulosEditar

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

 

 

 

Primera demostración por semejanza de triángulos:

Para comprobar     hace falta substituir las relaciones trigonométricas del dibujo construible:

 

simplificando   y sacando factor común   queda:

 

como  :

 

confirmándose el resultado por semejanza de triángulos.

Segunda demostración por áreas de triángulos:

La relación entre áreas del dibujo es:

 

aplicando fórmulas de áreas y con   se obtiene:

 

simplificando:

 .

Demostración de     aplicando la identidad antes demostrada:

       .

Demostración de     aplicando la primera identidad:

     .

Demostración de     aplicando la identidad antes demostrada:

         .

Demostración de  

       .

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

 
 
 
 


Para ángulos complementarios:

 
 
 
 
 
 

Para ángulos opuestos:

 
 
 
 
 
 

Otras relaciones:

 

Identidades del ángulo múltipleEditar

Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

 

Fórmula de De Moivre:

 

Identidades del ángulo doble, triple y medioEditar

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea  ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando  .

Fórmula del ángulo doble
       
Fórmula del ángulo triple
       
Fórmula del ángulo medio
       

Producto infinito de Leonhard EulerEditar

 

Identidades para la reducción de exponentesEditar

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sen²(x).

Seno      
Coseno        
Otros    

Paso de producto a sumaEditar

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

 

 

 

 

Demostración
 

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

 

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1):  
2):  

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3):  

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

 

Simplificando el elemento sen(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

 

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

 

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

 

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a productoEditar

 

 

 

 

 

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (ab) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a productoEditar

1).  
2).  
Demostración:

De la suma y diferencia de ángulos se tiene:

 
 
 

De la relación pitagórica tenemos:

 
 

Luego:

 
 

Análogamente se puede demostrar la otra relación.

Paso de senos y cosenos a tangentesEditar

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible expresar senos y cosenos en tangentes.

 
 
 
 

Funciones trigonométricas inversasEditar

 
 

Composición de funciones trigonométricasEditar

 
 
 
 
 
 
para  
 
 

Fórmula de productos infinitosEditar

Seno Coseno
 
 
 
 
 

Fórmula de EulerEditar

 
 

Teorema del cosenoEditar

Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

 

Teorema del senoEditar

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

 

AplicaciónEditar

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados para posteriormente identificar los valores de las funciones trigonométricas.

Definiciones exponencialesEditar

La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:

Función Función inversa
   
   
   
   
   
   
   

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. V. Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales, Editorial Euro-Omega , Madrid 1995, pág. 29
  2. Trigonometría (Segunda edición). Limusa(Noriega editores). ISBN 968-18-5617-1.  El recuadro se parece mucho pero el libro tiene un lapsus en la última casilla.

BibliografíaEditar

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Identidades_trigonom%C3%A9tricas&action=edit&section=21

Enlaces externosEditar