Métodos de integración

Se entiende por método de integración a la integral de las diferentes técnicas elementales usadas (a veces de forma combinada) para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función f(x), un método de integración nos permite encontrar otra función F(x) tal que:

$F(x)=\int f(x)\,\mathrm {d} x$,

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) sea su derivada:​

${\frac {d\,F(x)}{dx}}=f(x)$.

Generalidades

El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más elaborado que el problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) tal que:

$F(x)=\int e^{-x^{2}}dx$

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse por los métodos de integración correspondientes.

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto requiere conocer de antemano una función F(x) que sea el resultado de la antiderivada de f(x). Para ello se puede disponer de tablas como las presentadas a continuación:

Integrales conocidas $\int f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+C$ f(x) F(x) $e^{x}$ $e^{x}$ $a^{bx}$ ${\frac {a^{bx}}{b\cdot \ln(a)}};a>0,a\neq 1$​ ${\frac {1}{x+a}}$ $\ln |x+a|$ ${\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}$ ${\frac {1}{2a}}\cdot \ln \left|{\frac {x+a}{x-a}}\right|$ ${\frac {1}{x^{2}-a^{2}}}$ ${\frac {1}{2a}}\cdot \ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|$ Hiperbólicas (véase: Integrales de funciones hiperbólicas) $\sinh(ax)$ ${\frac {1}{a}}\cosh(ax)$ $\cosh(ax)$ ${\frac {1}{a}}\operatorname {senh} (ax)$ $\tanh(ax)$ ${\frac {1}{a}}\ln(\cosh(ax))$ $\coth(ax)$ ${\frac {1}{a}}\ln(\operatorname {senh} (ax))$ $\operatorname {sech} (ax)$ ${\frac {1}{a}}\arctan(\sinh(ax))$ $\operatorname {csch} (ax)$ ${\frac {1}{a}}\ln |\operatorname {csch} (ax)-\operatorname {coth} (ax)|$ Hiperbólicas inversas ${\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$ $\operatorname {arcsinh} \left({\frac {x}{a}}\right)$ ${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$ $\operatorname {arccosh} \left({\frac {x}{a}}\right)$ ${\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}$ ${\frac {1}{a}}\operatorname {arctanh} \left({\frac {x}{a}}\right);u^{2}<a^{2}$ ${\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}$ ${\frac {1}{a}}\operatorname {arccoth} \left({\frac {x}{a}}\right);u^{2}>a^{2}$ ${\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}$ $-{\frac {1}{a}}\operatorname {arsech} \left({\frac {x}{a}}\right)$ ${\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}$ $-{\frac {1}{a}}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {x}{a}}\right|$

Integrales con funciones trigonométricas $\int f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+C$ f(x) F(x) Básicas $\cos(x)$ ${\frac {1}{a}}\sin(ax+b)$ $\sin(ax+b)$ $-{\frac {1}{a}}\cos(ax+b)$ $\tan(ax+b)$ $-{\frac {1}{a}}\ln |\cos(ax+b)|$ $\cot(ax+b)$ ${\frac {1}{a}}\ln |\sin(ax+b)|$ $\sec(ax+b)$ ${\frac {1}{a}}\ln |\sec(ax+b)+\tan(ax+b)|$ $\csc(ax+b)$ $-{\frac {1}{a}}\ln |\csc(ax+b)+\cot(ax+b)|$ $\sec ^{2}(x)$ $\tan(x)$ $\csc ^{2}(x)$ $-\cot(x)$ $\sec(x)\tan(x)$ $\sec(x)$ $\csc(x)\cot(x)$ $-\csc(x)$ Inversas ${\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$ $\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)$ ${\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}$ ${\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)$ ${\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$ ${\frac {1}{a}}\operatorname {arcsec} \left({\frac {x}{a}}\right)$

Funciones analíticas

El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que:

$f(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}(x-x_{0})^{m},\qquad F(x)=\int f(x)\ dx=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {a_{m}}{m+1}}(x-x_{0})^{m+1}+C$

Método de integración por sustitución

$\int _{h(a)}^{h(b)}f(u)du=\int _{a}^{b}f(h(x))h'(x)dx$

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Ejemplo #1

Suponiendo que la integral a resolver es:

$\int _{-2}^{3}x\cos(2x^{2}+3)dx\approx 0,4591614613\dots$

En la integral se reemplaza $\scriptstyle 2x^{2}+3$ con $\scriptstyle u=u(x)$:

(1)$\int _{-2}^{3}x\cos(u(x))dx$

Ahora se necesita sustituir también $\scriptstyle dx$ para que la integral quede solo en función de $\scriptstyle u$:

Se tiene que $\scriptstyle 2x^{2}+3=u$ por tanto derivando se obtiene $\scriptstyle 4xdx=du$. A continuación se despeja $\scriptstyle dx={\frac {du}{4x}}$ y se agrega donde corresponde en (1):

Pero antes de cambiar todo por la variable u, hay que cambiar los límites de esta integral indefinida. Por tanto se evalúan los límites de u tanto por el límite inferior como superior.

$u(3)=2*(3)^{2}+3=21;$

$u(-2)=2*(-2)^{2}+3=11;$

Ahora se remplazan los límites y se procede a remplazar por u:

$\int _{11}^{21}x\cos(u){\frac {du}{4x}}$

Simplificando:

$\int _{11}^{21}\cos(u){\frac {du}{4}}$

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo $\ u=2x^{2}+3$ :

$u_{1}=2(-2)^{2}+3=11\,\!$ (límite inferior)

$u_{2}=2(3)^{2}+3=21\,\!$ (límite superior)

Tras realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

${\frac {1}{4}}\int _{11}^{21}\cos(u)du={\frac {1}{4}}(\sin(21)-\sin(11))$

Ejemplo #2

Suponiendo ahora que la integral a resolver es:

$\int {\frac {1}{5+3\cos(x)}}dx$

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: $\ \sin(x)$ y $\ \cos(x)$ la sustitución conveniente resulta ser $\ u=\tan(x/2)$ :

$\ \sin(x/2)={\frac {u}{\sqrt {1+u^{2}}}}$, $\ \cos(x/2)={\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}}}}$

Entonces (por Teorema de la suma y la resta)$\ \cos(x)=\cos ^{2}(x/2)-\sin ^{2}(x/2)={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}$

por otra parte $\ du={\frac {1}{2}}\sec ^{2}(x/2)dx$ o $\ dx=2\cos ^{2}(x/2)du={\frac {2du}{1+u^{2}}}$

la integral queda después de dicha sustitución:

$\int {\frac {du}{u^{2}+4}}={\frac {1}{2}}\arctan(u/2)+c={\frac {1}{2}}\arctan({\frac {1}{2}}\tan(x/2))+c$

Método de integración por partes

Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme.

En el cálculo y en general en el análisis matemático, integración por partes es el proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas. Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada, por lo cual, una solución puede ser hallada más fácilmente.

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

si u = u(x) y du = u′(x) dx,a la vez v = v(x) y dv = v′(x) dx, entonces la integración por partes sería :

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}$

o de manera resumida :

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.\!$

o también de la siguiente manera :

$\int _{a}^{b}udv=\left.uv\right|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}vdu$.

A partir de la derivada del producto de dos funciones: ${\frac {d(u\cdot v)}{dx}}=u\cdot {\frac {dv}{dx}}+v\cdot {\frac {du}{dx}}$ Multiplicando por $dx$ se obtiene $d(u\cdot v)=u\cdot dv+v\cdot du$. Integrando ambos miembros en la ecuación se tiene. $\int d(u\cdot v)=\int u\cdot dv+\int v\cdot du$ Como la integral y el diferencial son operaciones inversas se tiene. $u\cdot v=\int u\cdot dv+\int v\cdot du$ Despejando: $\int udv=u\cdot v-\int vdu.$

Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función u de acuerdo con el orden, ayudándose de la regla mnemotécnica "ILATE":^{[cita requerida]}

1. Inversa trigonométrica: $\arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),$etc
2. Logarítmica: $\ln(x),\ \log _{b}(x),$etc
3. Algebraica o polinómica: $x^{2},\ 3x^{50},$etc
4. Trigonométrica:$\sin(x),\ \tan(x),$etc
5. Exponencial: $e^{x},\ 19^{x},$etc

Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica y exponencial. Si seguimos esta otra recomendación podemos usar la regla mnemotécnica ALPES, asignándole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparición:

1. Arcoseno(y cualquier trigonométrica inversa)
2. Logarítmica
3. Polinómica
4. Exponencial
5. Seno/coseno(y cualquier trigonométrica)

Fórmulas más generales de integración por partes existen en Integral de Riemann-Stieltjes y Integración de Lebesgue–Stieltjes.

Teorema

Producto de dos funciones

El teorema puede ser derivado de la manera siguiente . supongamos que u(x) y v(x) son dos funciones continuas diferenciables. Regla del producto queda (en Notación de Leibniz):

${\frac {d}{dx}}{\Big (}u(x)v(x){\Big )}=v(x){\frac {d}{dx}}\left(u(x)\right)+u(x){\frac {d}{dx}}\left(v(x)\right).\!$

integrando ambas partes con respecto a x

$\int {\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx$

luego aplicando la definición de integral definida

$u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx$

$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$

nos da como resultado la fórmula de integración por partes.

como du y dv son "diferencial de una función" de una variable x,

$du=u'(x)dx\quad dv=v'(x)dx$

$\int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du$

La integral original $\int u(x)v'(x)dx$ contiene $v'(x)$ (derivada de $v(x)$); para poder aplicar el teorema, $v(x)$ (antiderivada de $v'(x)$) debe ser encontrado, entonces la integral resultante $\int u'(x)v(x)dx$ debe ser evaluada.

Ejemplos

$I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .$

hacemos:

$u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}$

$dv=dx\ \Rightarrow \ v=x$

luego:

${\begin{aligned}\int \ln(x)\ dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\ dx\\&=x\ln(x)-\int 1\ dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}$

donde C es la constante de integración .

El segundo ejemplo es sobre funciones inversas trigonometricas:

$I=\int \arctan(x)\ dx.$

reescribimos la integral de la siguiente manera :

$\int \arctan(x)\cdot 1\ dx.$

Ahora hacemos:

$u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}$

$dv=dx\ \Rightarrow \ v=x$

entonces :

${\begin{aligned}\int \arctan(x)\ dx&=x\cdot \arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\ dx\\[8pt]&=x\cdot \arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}$

usando una combinación entre el método inverso de la cadena e integración de Logaritmo natural.

Método de integración por cambio de variables

El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si $u$ es la variable original y $v=\phi (u)$ es una función invertible, se tiene:

$\int _{a}^{b}f(u)\ du=\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}(f\circ \phi ^{-1})(v)\left({\frac {d\phi ^{-1}(v)}{dv}}\right)^{-1}dv$

Integrales de funciones trigonométricas

Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso puede lograrse gracias a las siguientes identidades:

${\begin{matrix}\cos ^{2n+1}x=\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2n+1}={\cfrac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}2n+1\\k\end{pmatrix}}\cos {((2n+1)-2k)x}\\\cos ^{2n}x=\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2n}={\cfrac {1}{2^{2n}}}{\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}+\ {\cfrac {2}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\begin{pmatrix}2n\\k\end{pmatrix}}\cos {(2n-2k)x}\end{matrix}}$

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de múltiplos de ángulos:

${\begin{matrix}{\begin{cases}\cos ^{2}x={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(2x)\\\cos ^{4}x={\frac {3}{8}}+{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{8}}\cos(4x)\\\dots \end{cases}}{\begin{cases}\cos ^{3}x={\frac {3}{4}}\cos(x)+{\frac {1}{4}}\cos(3x)\\\cos ^{5}x={\frac {5}{8}}\cos x+{\frac {5}{16}}\cos(3x)+{\frac {1}{16}}\cos(5x)\\\dots \end{cases}}\end{matrix}}$

Integral que contiene potencias de senos y cosenos $\int \sin ^{n}(x)\cos ^{m}(x)dx$

• En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene solo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o solo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
• La identidad $\sin ^{2}x$ $+$ $\cos ^{2}x$ $=$ $1$ permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Existen 3 casos:

Cuando n es impar

Cuando $\scriptstyle n=2k+1$, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

$\int \sin ^{2k+1}x\cos ^{m}xdx$

$\int \sin ^{2k}x\cos ^{m}x\sin xdx$

$\int (\sin ^{2}x)^{k}\cos ^{m}x\sin xdx$

$\int (1-\cos ^{2}x)^{k}\cos ^{m}x\sin xdx$

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo $u=\cos(x)$, $du=-\sin(x)dx$. Como en la expresión no tenemos un $-\sin(x)dx$ multiplicamos ambos lados por $(-1)$ y nos queda la expresión $-du=\sin(x)dx$ que ya podemos sustituir:

$-\int (1-u^{2})^{k}u^{m}du$

Cuando m es impar

Cuando $m=2k+1$, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear $\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$ para poder expresar los factores restantes en términos del $\sin x$:

$\int \sin ^{n}x\cos ^{2k+1}xdx$

$\int \sin ^{n}x\cos ^{2k}x\;\cos xdx$

$\int \sin ^{n}x\;(\cos ^{2}x)^{k}\;\cos xdx$

$\int \sin ^{n}x\;(1-\sin ^{2}x)^{k}\;\cos xdx$

al hacer $u=\sin x$ y $du=\cos xdx$ tendríamos

$\int u^{n}\;(1-u^{2})^{k}du$

Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez $n=2k$ y $m=2p$, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo:

$\sin ^{2}x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos 2x$

$\cos ^{2}x={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos 2x$

algunas veces es útil usar la identidad:

$\sin x\;\cos x={\frac {1}{2}}\sin 2x$

$\int \cos ^{2p}x\;\sin ^{2k}xdx$

$\int (\cos ^{2}x)^{p}\;(\sin ^{2}x)^{k}dx$

sería igual a:

$\int [{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos 2x]^{p}\;[{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos 2x]^{k}dx$

Ejemplo #1

• $\int \sin ^{5}x\;\cos ^{2}xdx.$

Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,

$\sin ^{5}x\;\cos ^{2}x=(\sin ^{2}x)^{2}\;\cos ^{2}x\;\sin x=(1-\cos ^{2}x)^{2}\;\cos ^{2}x\;\sin x$

Sustituyendo $u=\cos x$ , tenemos $du=-\sin xdx$ luego:

${\begin{matrix}\int \sin ^{5}x\cos ^{2}xdx=\int \sin ^{4}x\cos ^{2}x\sin x\ dx=\\\int (1-\cos ^{2}x)^{2}\cos ^{2}x\sin x\ dx=\\\int (1-u^{2})^{2}\;u^{2}\;(-du)=-\int (u^{2}-2u^{4}+u^{6})du=\\-({\frac {u^{3}}{3}}-{\frac {2u^{5}}{5}}+{\frac {u^{7}}{7}})+C=\\-{\frac {1}{3}}\cos ^{3}x+{\frac {2}{5}}\cos ^{5}x-{\frac {1}{7}}\cos ^{7}x+C\end{matrix}}$

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes $\int \sec ^{n}x\tan ^{m}xdx$

• Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

$\left({\frac {d}{dx}}\right)\tan x=\sec ^{2}x$, se puede separar un factor $\sec ^{2}x$ y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad $\sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x$.

O bien, puesto que:

${\frac {d}{dx}}\sec x=\sec x\tan x$, se puede separar un factor $\sec x\tan x$ y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Existen 3 casos:

Cuando n es par

$n=2k$ separar un factor de $\sec ^{2}x$ y utilice $\sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x$ para lograr expresar los factores restantes en términos de $\tan x$:

$\int \sec ^{2k}x\;\tan ^{m}xdx$

$\int \sec ^{2k-2}x\;\tan ^{m}x\;\sec ^{2}xdx$

$\int (\sec ^{2}x)^{k-1}\;\tan ^{m}x\;\sec ^{2}xdx$

$\int [1+\tan ^{2}x]^{k-1}\;\tan ^{m}x\;\sec ^{2}xdx$

de esta manera podemos hacer $u=\tan x$ y $du=sec^{2}xdx$ y el integral quedaría así:

$\int [1+u^{2}]^{k-1}\;u^{m}du$

Cuando m es impar

$m=2k+1$ apartar un factor de $\sec x\tan x$ y emplear $\tan ^{2}x=\sec ^{2}x-1$ para poder expresar los factores que restan en términos de $\sec x$:

$\int \sec ^{n}x\;\tan ^{2k+1}x\ dx$

$\int \sec ^{n-1}x\;\tan ^{2k}x\;\sec x\;\tan x\ dx$

$\int \sec ^{n-1}x\;(\sec ^{2}x-1)^{k}\;\sec x\;\tan x\ dx$

de esta manera se puede hacer $u=\sec x$ y $du=\sec x\;\tan x\;dx$, con lo que queda

$\int u^{n-1}\;(u^{2}-1)^{k}du$

La tangente tiene potencia par $\int \tan ^{2k}xdx$

$\int \tan ^{2k-2}x\;\tan ^{2}xdx$

$\int \tan ^{2k-2}x\;(\sec ^{2}x-1)dx$

$\int \tan ^{2k-2}x\;\sec ^{2}xdx-\int \tan ^{2k-2}xdx$

La Secante tiene potencia impar$\int sec^{2k+1}xdx$

En este caso se procede a integrar por partes.

Ninguno de los anteriores

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores, se traslada a $\scriptstyle \sin x$ y $\scriptstyle \cos x$, recordando que:

$\sec x={\frac {1}{\cos x}},\qquad \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocasionalmente, un poco de inventiva.

• A veces será necesario poder integrar $\tan x$ por medio de la fórmula establecida:

$\int \tan x\ dx=-\ln |\cos \ x|+C$

• Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

$\int \sec x\ dx=\ln |\sec \ x+\tan \ x|+C$

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por $\sec x+\tan x$ :

$\int \sec xdx=\int \sec x{\frac {\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}}dx=\int {\frac {\sec ^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}}dx$

Si se sustituye $u=\sec x+\tan x$, después $du=(\sec x\tan x+\sec ^{2}x)dx$, también, la integral se convierte en:

$\int {\frac {du}{u}}=\ln |u|+C$

Así, se tiene:

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:

$\csc ^{2}x=1+\cot ^{2}x$

Reducción a funciones racionales

Si el integrando puede expresar como una función racional de funciones trigonométicas:

(*)$\int R(\sin(x),\cos(x))\ dx,\qquad R(x,y)={\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}},\ P,Q\in \mathbb {R} [x,y]$

Entonces el cambio:

$t:=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\Rightarrow \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}},\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

permite reescribir la integral (*) como:

$2\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\ {\frac {dt}{1+t^{2}}}$

Que resulta ser una función racional, y por tanto, de integración mecánica.

Integrales de funciones racionales

Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}},\qquad P(x),Q(x)\in \mathbb {R} [x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

${\begin{cases}Q(x)=(x-r_{1})^{m_{1}}(x-r_{2})^{m_{2}}\dots (x-r_{k})^{m_{k}}(x^{2}+s_{1}x+t_{1})^{n_{1}}\dots (x^{2}+s_{l}x+t_{l})^{n_{l}}\\k,l,m_{i},n_{j}\in \mathbb {N} ,\ r_{p},s_{p},t_{p}\in \mathbb {R} \end{cases}}$

Si $\scriptstyle {\mbox{gr}}(P)<{\mbox{gr}}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

${\begin{matrix}f_{1}(x)={\cfrac {1}{(x-r_{i})}}&f_{2}(x)={\cfrac {1}{(x-r_{i})^{u}}}\\f_{3}(x)={\cfrac {1}{x^{2}+a^{2}}}&f_{4}(x)={\cfrac {1}{(x^{2}+a^{2})^{v}}}\\f_{5}(x)={\cfrac {x}{x^{2}+a^{2}}}&f_{6}(x)={\cfrac {x}{(x^{2}+a^{2})^{w}}}\end{matrix}}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma:

${\begin{matrix}F_{1}(x)=\ln(x-r_{i})&F_{2}(x)={\cfrac {1-u}{(x-r_{i})^{u-1}}}\\F_{3}(x)={\cfrac {1}{a}}\arctan {\cfrac {x}{a}}&F_{4}(x)={\cfrac {1}{2a^{2}}}\left({\cfrac {x}{(v-1)(x^{2}+a^{2})^{v-1}}}+{\cfrac {2v-3}{v-1}}\int {\cfrac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{v-1}}}\right)\\F_{5}(x)={\cfrac {1}{2}}\ln(x^{2}+a^{2})&F_{6}(x)={\cfrac {-1}{2(w-1)(x^{2}+a^{2})^{w-1}}}\end{matrix}}$

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.

Integración numérica

La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

Bibliografía

• Leithold, L. (1998). El Cálculo 7a Edición. México: Oxford University Press - Harla México S.A de C.V.
• Ron Larson, R. P. (2006). Cálculo con geometría analítica 8va. Edición. México: McGraw - Hill.
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231 
  Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, pp. 200-201 
• Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899), Gerhardt, Karl Immanuel, ed., Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller 
• Rudin, Walter (1987), «Chapter 1: Abstract Integration», Real and Complex Analysis (International edición), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9 

Enlaces externos

• Integrales resueltas usando técnicas de integración en wikimatematica.org

Videos

• Área bajo la curva con sumatorias
• Cálculo del área con subintervalos
• Integración por Partes
• Explicación: Método de integración por partes
• Integración por Sustitución Simple
• Integración por Sustitución Trigonométrica

• Datos: Q273328