Se entiende por método de integración a la integral de las diferentes técnicas elementales usadas (a veces de forma combinada) para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función f(x), un método de integración nos permite encontrar otra función F(x) tal que:
El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más elaborado que el problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) tal que:
Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse por los métodos de integración correspondientes.
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto requiere conocer de antemano una función F(x) que sea el resultado de la antiderivada de f(x). Para ello se puede disponer de tablas como las presentadas a continuación:
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede solo en función de :
Se tiene que por tanto derivando se obtiene . A continuación se despeja y se agrega donde corresponde en (1):
Pero antes de cambiar todo por la variable u, hay que cambiar los límites de esta integral indefinida. Por tanto se evalúan los límites de u tanto por el límite inferior como superior.
Ahora se remplazan los límites y se procede a remplazar por u:
Simplificando:
Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo :
(límite inferior)
(límite superior)
Tras realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
En el cálculo y en general en el análisis matemático, integración por partes es el proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas. Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada, por lo cual, una solución puede ser hallada más fácilmente.
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
si u = u(x) y du = u′(x) dx,a la vez v = v(x) y dv = v′(x) dx, entonces la integración por partes sería :
o de manera resumida :
o también de la siguiente manera :
.
A partir de la derivada del producto de dos funciones:
Multiplicando por se obtiene .
Integrando ambos miembros en la ecuación se tiene.
Como la integral y el diferencial son operaciones inversas se tiene.
Despejando:
Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función u de acuerdo con el orden, ayudándose de la regla mnemotécnica "ILATE":[cita requerida]
Inversa trigonométrica: etc
Logarítmica: etc
Algebraica o polinómica: etc
Trigonométrica:etc
Exponencial: etc
Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica y exponencial.
Si seguimos esta otra recomendación podemos usar la regla mnemotécnica ALPES, asignándole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparición:
La integral original contiene (derivada de ); para poder aplicar el teorema, (antiderivada de ) debe ser encontrado, entonces la integral resultante debe ser evaluada.
El segundo ejemplo es sobre funciones inversas trigonometricas:
reescribimos la integral de la siguiente manera :
Ahora hacemos:
entonces :
usando una combinación entre el método inverso de la cadena e integración de Logaritmo natural.
Método de integración por cambio de variablesEditar
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si es la variable original y es una función invertible, se tiene:
Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso puede lograrse gracias a las siguientes identidades:
Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de múltiplos de ángulos:
Integral que contiene potencias de senos y cosenos Editar
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene solo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o solo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
Cuando , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:
Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo , . Como en la expresión no tenemos un multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión que ya podemos sustituir:
Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,
Sustituyendo , tenemos luego:
Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes Editar
Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad .
O bien, puesto que:
, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores, se traslada a y , recordando que:
Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocasionalmente, un poco de inventiva.
A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula establecida:
Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:
Primero se mutiplican numerador y denominador por :
Si se sustituye , después , también, la integral se convierte en:
Así, se tiene:
NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:
Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:
Si el denominador es un polinómico mónico con kraíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:
Si entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:
Por lo que la integral de la función es una combinación lineal de funciones de la forma:
Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.
La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
↑Para cada función f(x) existe una infinidad de funciones que tienen a f(x) por derivada, y por tanto hay una infinidad de soluciones a la integral ∫f(x) dx. Todas estas soluciones son difieren por una constante sin calcular. Por ejemplo: x²+5, x²-20, x²+ 13.41 son tres soluciones para ∫ 2x dx-.
De este modo, si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier función de la forma F(x)+C también lo es. Esto se representa como ∫ f(x)dx = F(x)+C pero por simplicidad de la presentación se omite la constante arbitraria C en cada uno de los ejemplos.