Integral de línea

En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva. Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.

Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.

La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.

Ejemplos prácticos de aplicación de las integrales de línea pueden ser:

  • El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.
  • El cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Integral de línea de un campo escalarEditar

 
Integral de línea de un campo escalar

DefiniciónEditar

Sea   una curva suave a trozos parametrizada por una función  , si   es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar   sobre   (también llamada integral de trayectoria), está definida como

 

La función   es una parametrización biyectiva arbitraria de   donde   y   son los puntos iniciales y finales respectivamente.

En particular, cuando  , entonces obtenemos la longitud de la curva  , esto es

 

Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de   porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de  , esto es, si   es una curva simple orientada y   denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

 

InterpretaciónEditar

Geométricamente, cuando el campo escalar   está definida sobre el plano  , su gráfica es una superficie   en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valle entre la base de la imagen de   y la gráfica de  .

DeducciónEditar

Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann  .

Comencemos subdividiendo el intervalo   por medio de la partición

 

lo anterior conduce a una descomposición de   en trayectorias   definidas en el intervalo   para  , si denotamos la longitud de arco de   por   entonces

 

Cuando  , es decir,   es grande, la longitud de arco   es pequeña y   es aproximadamente constante para puntos en  . Consideremos las sumas

 

donde   está definida para  .

Por el teorema del valor medio,   donde   y  . A partir de la teorìa de sumas de Riemann puede demostrarse que

 

Ejemplo 1Editar

Se desea evaluar la integral de línea

 

sobre la hélice  ,  .

En primer lugar notemos que

 

por lo que

 

Y como

 

Entonces

 

Ejemplo 2Editar

Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio   es  , es decir, buscamos hallar

 

siendo   la longitud de una circunferencia de radio  .

Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio   centrada en el origen, por lo que una posible parametrización es

 

Dado que

 

Por lo tanto

 

Integral de línea de un campo vectorialEditar

DefiniciónEditar

Sean   un campo vectorial continuo en una región   y   una curva suave a trozos parametrizada por una función  , la integral de línea del campo vectorial   sobre   en la dirección de  , está definida como

 

donde   es el producto escalar y la función   es una parametrización biyectiva arbitraria de   donde   y   son los puntos iniciales y finales respectivamente.

Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de  , no son independientes de la orientación de  , para este tipo de integrales, si   es una curva simple orientada y   denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces 

Relación con las integrales de línea de campos escalaresEditar

Para trayectorias   que satisfagan   si

 

denota un vector tangente unitario a   entonces

 

donde  , por lo tanto

 

Forma diferencialEditar

Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que   es un campo vectorial en   de la forma   y   es una curva parametrizada por   entonces

 

Decimos que la expresión   es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en  .

Integrales de línea sobre curvas cerradasEditar

Si   es una curva cerrada simple entonces es común la notación

 

y para la forma diferencial

 

Teorema fundamental de las integrales de líneaEditar

Campo vectorial conservativoEditar

Sea   una función continua en la región  , decimos que   es un campo vectorial conservativo en   si existe   tal que  , en este caso decimos que   es un campo potencial de  .

TeoremaEditar

Si   es un campo vectorial conservativo en   y   una curva suave a trozos parametrizada por una función   entonces

 

En particular, si   es una curva orientada cerrada y simple

 

Lo anterior dice que cuando   es un campo vectorial conservativo, la integral de línea de dicho campo sólo dependerá de los puntos extremos de la parametrización  . En otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, decimos que la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si (y sólo si)   es un campo vectorial conservativo.

Integrales de línea en el plano complejoEditar

En análisis complejo, la integral de línea está definida en términos de la multiplicación y adición de números complejos. Supóngase que   es una región abierta en el plano complejo,   es una función y   es una curva de longitud finita parametrizada por

 

donde

 

Si la parametrización   es continuamente diferenciable entonces la integral de línea puede ser evaluada como una integral de una función de variable real:

 

Cuando   es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy-Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

Enlaces externosEditar