Integral múltiple

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, o .

La doble integral como el volumen bajo una superficie. La región rectangular abajo de la figura es el dominio de integración, mientras que la superficie es la gráfica de la función de dos variables de la integral.

IntroducciónEditar

De la misma manera en que la integral de una función positiva   de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva   de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una «integral triple» de una función   definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen; sin embargo, es bueno notar que si   el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

 

Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

DefiniciónEditar

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación   y una región   en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función   (si   es una región cerrada y acotada y   está definida en ésta). Por ejemplo, si  , el volumen situado entre la superficie definida por   y una región   en el plano   es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó,   está definida en  .

  puede dividirse en una partición interior   formada por   subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en  . La norma   de esta partición está dada por la diagonal más larga en las   subregiones.

Si se toma un punto   que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones   para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por   y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

 

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación   y la región   mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los   espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

 

Esta aproximación mejora a medida que el número   de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

 

El significado riguroso de este último límite es que el límite es igual L si y solo si para todo   existe un   tal que

 

para toda partición   de la región   (que satisfaga  ), y para todas las elecciones posibles de   en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si   está definida en una región cerrada y acotada   del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de   sobre   está dada por:
 
siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que   es integrable con respecto a T.

PropiedadesEditar

Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si   y   son funciones continuas en una región cerrada y acotada   en un espacio     una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:

1.

 

2.

 
 

3.

Si  , entonces:
 

4.

Si  , entonces:
 

5.

Sea D la unión entre dos regiones, D1 y D2, que no solapan entre sí, entonces:
 
 


Integrales múltiples e Integrales iteradasEditar

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, las cuales son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

 

se refiere a una integral iterada, la parte externa

 

es la integral con respecto a x de la función de x:

 

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y solo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es   o  , y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

 

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

 

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

 

Esto ocurre, cuando   es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.

La notación

 

se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.

Métodos de integraciónEditar

Funciones constantesEditar

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante   por la medida del dominio de integración. Si  , y es integrada a través de una región de   esto da el área de la región, mientras que si es una región de   da el volumen de la región y así sucesivamente.

Por ejemplo:

  y  
Integrando   sobre  :
 

Uso de simetríasEditar

En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

Dada   y que   es el dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen.
Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes:
 

Ya que tanto   como   son funciones impares, y existe simetría tanto con respecto al eje   como con respecto al eje  , las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual únicamente a la tercera.

 

Cambio de variablesEditar

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.

Si se utiliza una transformación que siga la relación:

 

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

 

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

 

A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas PolaresEditar

 
La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se considera   (el radio medio), el área de la región polar es efectivamente  .

En un espacio  , un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto   del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

 

Por ejemplo:

Si la función es  
aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a   y a  .
 

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es  
Uno tiene:
 

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

 

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de  ,   en la primera columna con respecto a   y en la segunda con respecto a  .

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

 

Coordenadas EsféricasEditar

 
Gráfica de las coordenadas esféricas

Cuando existe simetría esférica en un dominio en  , es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:

 

El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:

 

Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.

Por lo tanto los diferenciales   se transforman en  

Finalmente se obtiene la fórmula de integración:

 

Coordenadas CilíndricasEditar

 
Gráfica de las Coordenadas Cilíndricas (Se muestra el ángulo θ como φ)

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.

 

El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:

 

Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:

 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  • Roland E. Larson, Robert P. Hosteler, Bruce H. Edwards (1999). «Integración Múltiple». Cálculo Volumen 2. México D.F.: McGrawHill. ISBN 970-10-2756-6.