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Interior (topología)

(Redirigido desde «Interior»)

Sea un espacio topológico, y . Se define el interior de (notado , , o ) como la unión de todos los abiertos contenidos en .[1]​ Es decir, si y solo si es V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en (ver #Ejemplos).

CaracterizaciónEditar

Constructivamente, se define  . Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.

Caso generalEditar

El interior topológico se puede caracterizar en el caso general por medio de entornos de la siguiente manera:

Se dice que un punto   solo si   es un entorno de este punto. Es decir, si existe un abierto   de tal manera que  .

Caso de espacios métricosEditar

Si   consiste en un espacio métrico, se puede desarrollar aún más:

 

En este caso, un punto   es parte del interior de   solamente si existe una bola abierta contenida en  , centrada en el punto   con radio  , ósea radio positivo (esto se desprende de la definición: una bola abierta necesariamente tiene radio positivo).

PropiedadesEditar

Las siguientes son las principales propiedades del interior:

  1.  [2]
  2.   es abierto si y solo si  
  3.  
  4.  
  5.   (pues ambos son conjuntos abiertos y cerrados, por definición de una topología)
  6.  
  7.  
  8.  
  9. El interior de  , la frontera de   y el exterior de   constituyen una partición de  . Es decir:   y  ,  , y  [3]

Hay conjuntos cuyo interior es el conjunto vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales   y los racionales   en la recta real. Pues si consideramos k un elemento de ℚ y el intervalo abierto <k-r, k+r>, este intervalo que conlleva k no está incluido en ℚ.[4]

EjemplosEditar

Ejemplo elemental sobre la recta realEditar

El interior del conjunto en forma de intervalo   es precisamente  , se puede ver que ese conjunto es abierto y contenido en I, por tanto la unión de cualquier colección numerable de subintervalos abiertos de I de la forma   con   será de la forma:

 

Dado que todos ellos están incluidos en  , por otra parte el conjunto   no es abierto, y por esa razón el mayor conjunto abierto posible contenido en él es  . Para completar los detalles de la prueba habría que ver que cualquier subconjunto abierto de   está contenido en  , cosa que es sencilla probando que cualquier conjunto de abierto contenido en   es una uniónde intervalos de la forma   (con la condición de que  ).

De manera similar se puede demostrar que  , que   o que   (en este caso el propio conjunto es su interior).

Círculos y Circunferencias en  Editar

La circunferencia unidad S1 tiene interior vacío. Es decir

 

Este caso es bastante claro si uno se da cuenta que no existe una bola abierta que sea contenida en esta circunferencia. Si consideramos los puntos en el círculo cerrado D1

 

entonces notamos que  . Podemos construir este caso fácilmente:

  • Primero considera la bola abierta y todos sus puntos; uno nota que   porque   y es abierto.
  • Ahora, considera cualquier punto  . Sabemos que   y que  , entonces considera cualquier  : demostramos que existe un punto en cualquier bola abierta centrada en   que no está contenido en D1. Dado una bola  , el punto  , sin embargo sabemos que   (porque  ), entonces   porque  . Al saber que   entonces   que nos deja concluir que  . Esto implica inmediatamente que  . Por esto sabemos que  .

Usando ambas proposiciones podemos concluir que   que es lo que buscábamos comprobar.

Notas y referenciasEditar

  1. Munkres: Topología. No cabe la adjetivación 'más grande'
  2. El interior es la unión de todos los abiertos contenidos en A
  3. La unión de los tres es X, la intersección de cualquier dos de ellos es ∅
  4. Ningún elemento de ℚ es punto interior de él