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Punto de intersección de dos rectas

En geometría, una intersección es un punto, línea recta, curva, superficie o volumen, que es común a dos o más elementos (como líneas rectas, curvas, planos, superficies o volúmenes). El caso más simple en geometría euclidiana es la intersección de dos rectas distintas, que o bien es un punto o no existe si las líneas son paralelas.

La determinación de la intersección de planos o rectas definidos en un espacio dimensional superior, es una tarea simple de álgebra lineal, es decir, la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Pero en general, la determinación de una intersección conduce a sistemas no lineales, que pueden ser solucionados por análisis numérico, por ejemplo, utilizando el método de Newton. Los problemas de intersección entre una línea y una sección cónica (círculo, elipse, parábola, etc.) o una cuádrica (esfera, cilindro, hiperboloide, etc.) conducen a ecuaciones de segundo grado que se pueden resolver fácilmente. Las intersecciones entre cuádricas (superficies de cuarto grado) llevan a ecuaciones cuárticas, que se pueden resolver algebraicamente.

En un planoEditar

Dos rectasEditar

Para la determinación del punto de intersección de dos líneas no paralelas

  •  

se obtienen, a partir de la regla de Cramer o sustituyendo una variable, las coordenadas del punto de intersección  :

 

(Si   las líneas son paralelas y estas fórmulas no se pueden usar porque implican dividir por 0).

Dos segmentos de rectaEditar

 
Intersección de dos segmentos de recta

Para dos segmentos no paralelos   y  , no necesariamente hay un punto de intersección (véase el diagrama), puesto que el punto de intersección   de las rectas correspondientes puede no estar contenido en ambos segmentos. Para verificar la situación, se usa la representación paramétrica de las rectas:

 
 

Los segmentos de línea se intersecan solo en un punto común   de las líneas correspondientes si los parámetros correspondientes   cumplen la condición  . Los parámetros   son la solución del sistema lineal

 
 

Se puede resolver para s y t usando la regla de Cramer (véase más arriba). Si se cumple la condición  , se inserta   o   en la representación paramétrica correspondiente y se obtiene el punto de intersección  .

Ejemplo: Para los segmentos de línea   y   se obtiene el sistema lineal

 
 

y  . Esto significa que las líneas se cruzan en el punto  .

"Observación:" Teniendo en cuenta las rectas, en lugar de segmentos determinados por pares de puntos, cada condición   se puede descartar y el método produce el punto de intersección de las líneas (véase más arriba).

 
Intersección recta–circunferencia

Una recta y una circunferenciaEditar

Para la intersección de

  • recta   y circunferencia  

se despeja la ecuación de la recta para x o para y, se sustituye en la ecuación de la circunferencia y se obtiene la solución (usando la fórmula de una ecuación cuadrática)   con

 
 

si   Si esta condición se cumple, hay dos puntos de intersección; en este caso, la línea se llama recta secante del círculo, y el segmento de línea que conecta los puntos de intersección se denomina cuerda de la circunferencia.

Si   se mantiene, solo existe un punto de intersección y la línea es tangente al círculo. Si la desigualdad no se cumple, la línea no se cruza con el círculo.

Si el punto medio de la circunferencia no es el origen, se puede hacer un desplazamiento del punto central al origen de coordenadas mediante un cambio de variable, cambio que se deshace una vez hallada la solución.[1]​ La intersección de una línea y de una parábola o de una hipérbola se puede tratar de manera análoga.

Dos circunferenciasEditar

 
Intersección circunferencia–circunferencia
 
Intersección circunferencia–elipse

La determinación de los puntos de intersección de dos círculos

  •  

se puede reducir al caso anterior de intersección de una línea y un círculo. Al restar las dos ecuaciones dadas, se obtiene la ecuación lineal:

 

La intersección del área de dos círculos define una figura denominada forma lenticular.

Dos secciones cónicasEditar

El problema de la intersección de una elipse/hipérbola/parábola con otra sección cónica conduce a un sistema de ecuaciones cuadráticas, que puede resolverse en casos especiales fácilmente mediante la eliminación de una coordenada. Se pueden usar propiedades especiales de las secciones cónicas para obtener una solución. En general, los puntos de intersección pueden determinarse resolviendo la ecuación mediante una iteración de Newton. Si:

a) Ambas cónicas se dan implícitamente (mediante una ecuación); entonces se puede usar una iteración bidimensional de Newton.
b) Una está dada implícitamente y la otra paramétricamente; entonces es posible utilizar una iteración de Newton de una dimensión (véase la siguiente sección).

Dos curvas suavesEditar

 
Intersección transversal de dos curvas
 
Dos curvas con intersección tangente (izquierda); y dos curvas tangentes entre sí (derecha)

Dos curvas en   (el espacio bidimensional), que son continuamente diferenciables (es decir, no presentan puntos de curvatura angulosos), tienen un punto de intersección, si poseen un punto del plano en común y tienen en este punto

a: tangentes distintas (intersección transversal), o
b: una línea tangente en común y se cruzan entre sí (intersección tangente, véase el diagrama).

Si ambas curvas tienen un punto en común S y la tangente común en ese punto, pero no se cruzan entre sí, simplemente se están tocando en el punto S.

Debido a que las intersecciones tangentes aparecen con poca frecuencia y son difíciles de tratar, las siguientes consideraciones omiten este caso. Independientemente de esta circunstancia, se presuponen todas las condiciones de diferenciabilidad necesarias. La determinación de los puntos de intersección siempre conduce a una o dos ecuaciones no lineales, que pueden resolverse mediante la iteración de Newton. Una lista de los casos que aparecen a continuación:

 
Intersección de una curva paramétrica con una curva implícita
 
Intersección de dos curvas implícitas
  • Si ambas curvas están explícitamente dadas:  , igualarlas produce la ecuación
 
  • Si ambas curvas están dadas paramétricamente:  
Igualarlas produce dos ecuaciones con dos variables:
 
  • Si una curva es paramétrica y la otra implícita:  
Este es el caso más simple además del caso explícito. Se tiene que insertar la representación paramétrica de   en la ecuación   de la curva   y se obtiene la ecuación:
 
  • Si ambas curvas están implícitamente dadas:  
Aquí, un punto de intersección es una solución del sistema
 

Cualquier iteración de Newton necesita valores iniciales convenientes, que pueden derivarse mediante una visualización de ambas curvas. Una curva dada paramétrica o explícitamente puede visualizarse fácilmente, porque para cualquier parámetro t o x respectivamente es fácil calcular el punto correspondiente. Para curvas dadas implícitamente esta tarea no es tan fácil. En este caso, debe determinarse un punto de la curva con la ayuda de los valores iniciales y un método de iteración.[2]

Ejemplos:

1:   y la circunferencia   (véase diagrama).
Debe efectuarse la iteración de Newton   para la función
 . Como valores iniciales pueden elegirse -1 y 1.5.
Los puntos de intersección son: (-1.1073, -1.3578), (1.6011, 4.1046)
2:  
  (véase el diagrama).
La iteración de Newton se debe realizar sobre
 , donde   es la solución del sistema lineal
  en el punto  . Como valores de iniciales se pueden elegir (-0.5, 1) y (1, -0.5).
El sistema lineal puede ser resuelto por la regla de Cramer.
Los puntos de intersección son (-0.3686, 0.9953) y (0.9953, -0.3686).

Dos polígonosEditar

 
Intersección de dos polígonos: prueba de la ventana

Si se quieren determinar los puntos de intersección de dos polígonos, se puede verificar la intersección de cualquier par de segmentos de línea de los polígonos (véase arriba). Para polígonos con muchos segmentos, este método requiere bastante tiempo. En la práctica, se acelera el algoritmo de intersección mediante el uso de "pruebas de ventana". En este caso, se dividen los polígonos en pequeños subpolígonos y se determina la ventana más pequeña (rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas) para cualquier subpolígono. Antes de comenzar la determinación que consume mucho tiempo del punto de intersección de dos segmentos de línea, se comprueba si cualquier par de ventanas tiene puntos comunes.[3]

En el espacio (tres dimensiones)Editar

En el espacio tridimensional, también pueden existir puntos de intersección (puntos comunes) entre las curvas y las superficies. En las siguientes secciones se considera la intersección transversal solamente.

Una recta y un planoEditar

 
Intersección de una recta y un plano

En tres dimensiones, la intersección de una recta y un plano en posición general es un punto.

Comúnmente, una línea en el espacio se representa paramétricamente  , así como un plano mediante una ecuación del tipo

 

Al sustituir los parámetros en la ecuación, se obtiene la ecuación lineal

 

con el parámetro   correspondiente al punto de intersección  .

Si la ecuación lineal no tiene solución, la línea yace en el plano o es paralela a ella.

Tres planosEditar

Si una recta está definida por dos planos de intersección   y debe cruzarse con un tercer plano  , se debe evaluar el punto de intersección común de los tres planos.

Tres planos   con vectores normales linealmente independientes   tienen el punto de intersección

 

Para la prueba se debe establecer   usando las reglas de un producto mixto. Si el producto escalar triple es igual a 0, entonces los planos no poseen una intersección triple o es una recta (o un plano, si los tres planos son iguales).

Una curva y una superficieEditar

 
Intersección de una curva   con una superficie  

Análogamente al caso plano, los casos siguientes conducen a sistemas no lineales, que se pueden resolver utilizando una iteración de Newton de 1 o 3 dimensiones.[4]

  • Curva paramétrica   y
superficie paramétrica  
  • Curva paramétrica   y
superficie implícita  

Ejemplo:

Curva paramétrica   y
superficie implícita   (imagen s).
Los puntos de intersección son: (-0.8587, 0.7374, -0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332).

Una intersección de recta y esfera es un caso especial simple.

Como en el caso de una recta y un plano, la intersección de una curva y una superficie en posición general consiste en puntos discretos, pero una curva puede estar parcial o totalmente contenida en una superficie.

Una recta y un poliedroEditar

Dos superficiesEditar

Dos superficies intersecantes transversalmente dan una intersección curva. El caso más simple es la recta de intersección de dos planos no paralelos.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 17
  2. Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 33
  3. Erich Hartmann: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Lecture notes, TU Darmstadt, 1997, p. 79 (PDF; 3,4 MB)
  4. Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 93