Inverso multiplicativo

En matemáticas, el inverso multiplicativo, recíproco o inverso de un número x no nulo, es el número, denotado como ¹⁄_x o x ⁻¹, que multiplicado por x da 1 como resultado.

La función recíproca y = 1/x es una hipérbola con asíntotas en los ejes cartesianos. Para cada valor de x (eje horizontal) excepto el 0, y (eje vertical) representa su inverso multiplicativo.

En los números reales el 0 no tiene inverso multiplicativo. El inverso de un número real también es real, el inverso de un número racional es racional y todo número complejo tiene un inverso que es un número complejo. La división es la operación inversa de la multiplicación, si ${\textstyle y\neq 0}$ por definición se cumple que: ${\frac {x}{y}}=x\cdot y^{-1}$, y además $x\cdot x^{-1}=1$.

Es decir:

• Si tenemos y/x su inverso multiplicativo es x/y; o bien
• Si tenemos x su inverso multiplicativo es 1/x .

La propiedad que todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo es parte de la definición de cuerpo.

Inverso multiplicativo en otros objetos matemáticos

La noción de inverso de un número puede aplicarse a distintos tipos de objetos matemáticos.

• La inversa de una matriz cuadrada es otra matriz, denominada matriz inversa, que al multiplicarse por la original es igual a la matriz identidad.

• La inversa de una función inyectiva f es la resultante de despejar la variable independiente, convirtiéndola en dependiente. Su gráfica es simétrica a la gráfica de la función f con respecto a la recta $y=x$ y su composición da como resultado la función identidad.

• En las matemáticas constructivas, para que un número real x tenga inverso, no es suficiente que sea falso que x = 0. Además, debe existir un número racional r tal que 0 < r < |x|.

En cuanto al algoritmo de aproximación presentado en el párrafo anterior, esto es necesario para demostrar que la variación en y llegará a ser arbitrariamente pequeña.

• En la aritmética modular, el inverso multiplicativo de x también está definido: es el número a tal que (a × x) ≡ 1 (mod n). Sin embargo, este inverso multiplicativo sólo existe si a y n son primos entre sí. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4, porque es la solución de (3 × x) ≡ 1 (mod 11). Un algoritmo empleado para el cálculo de inversos modulares es el Algoritmo de Euclides extendido.

Véase también

• Elemento neutro
• Elemento simétrico
  • Elemento opuesto
  • Elemento inverso

• Elemento absorbente
• Elemento complementario

Bibliografía

Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2001). Precálculo: Matemáticas para el cálculo. (3rd edición). México: International Thomson Editores. p. 7. ISBN 0-534-34504-2. 

• Datos: Q216906