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En teoría de grupos, se dice que dos grupos son isomórficos si existe un homomorfismo de grupos biyectivo. Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomórfos tienen las mismas propiedades y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar al conjunto, los elementos y la operación, por este motivo no es necesario distinguirlos entre sí.

Un isomorfismo entre dos grupos G1 y G2 significa (informalmente) que G1 y G2 están en el mismo grupo, escrito de dos maneras diferentes.[1]

DefiniciónEditar

Un Homorfismo de grupo   se dice Isomorfo si y sólo si si   es una biyección.

En tal situación diremos que los grupos   y   son isomorfos y lo denotamos por:

 

PropiedadesEditar

Aplicación inversaEditar

Sea     isomorfo entonces la aplicación inversa     es isomorfo.[2]

Demostración

En efecto, sea y1 y y2  , luego existen x1, y2   tales que

 ,  

luego

 
 
 
 

ComposiciónEditar

Sean   y   tres grupos y

    y ψ:  isomorfos

entonces:

  :   es tambien un isomorfo.[2]
Demostración

Sean x y y  , entonces

 ,  

luego

 
 
 
 

luego   es un homomorfismo. Como   y   son aplicaciones biyectivas entonces   es biyectiva. Por lo tanto   es un isomorfo.

Teoremas de isomorfismo de gruposEditar

Teoremas de isomorfismoEditar

  • El primera teorema es un caso particular del teorema fundamental:

Sea   un homomorfismo de grupos. Con  . Entonces  

Demostración

Consideremos el siguiente diagrama.

 
Demostración Primer Teorema de Isomorfismo

donde

 
 

es la aplicación de la proyección

Definimos

 
 

Sea   bien definida

  entonces  

luego

 

y de esto se deduce

 ,

lo cual implica

 

  es un homorfismo

 
 
 
 

  es uno a uno Sea   luego esto implica que  . Luego  , elemento neutro en     sobreyectiva

Sea  , existe   tal que

 

como   es sobreyectiva, existe  

 

luego tenemos

  por tanto   es sobreyectiva

Con esto se demuestra que   es isomorfismo

  • Segundo teorema:

Si   y   son subgrupos de un grupo  , con   normal en  , entonces   es un subgrupo de  ,   es normal en   y  

  • Tercer teorema:

Si   y   son subgrupos normales de un grupo  , con  , entonces  

ReferenciasEditar

  1. «Group Isomorphism Theorems | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (en inglés estadounidense). Consultado el 10 de junio de 2019. 
  2. a b Rivero, Francisco. A L G E B R A: Estructuras Algebraicas. Consultado el 10 de junio de 2019. 

Enlaces externosEditar