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Límite de una sucesión

Sucesión 001.svg

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando toma valores muy grandes.[1]​ Se representa mediante , y se lee límite cuando tiende a más infinito de sub .[1]

Este concepto está estrechamente ligado al de convergencia. Una sucesión de elementos de un conjunto es convergente si y solo si en el mismo conjunto existe un elemento (al que se le conoce como límite) al cual la sucesión se aproxima tanto como se desee a partir de un momento dado. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.[cita requerida]

La definición significa que finalmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (véase sucesión de Cauchy).

Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión (véase distancia).

Límite de una sucesión de números realesEditar

Definición formalEditar

El término general de una sucesión de Funciones   tiene límite  , cuando   tiende a  , si para todo valor   por pequeño que sea, existe un valor   a partir del cual si   tenemos que la distancia de   a   es menor que  , es decir:

 . x=a

NotaciónEditar

  o bien  

o también

 

o simplemente

 

EjemplosEditar

  • La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
  • La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
  • La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
  • Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
  •  
  •  
  •  

Propiedades de sucesiones convergentesEditar

  • Toda sucesión convergente tiende a un único valor, lo que se conoce como la unicidad del límite.
  • Si todos los términos de una sucesión son iguales a un mismo valor, entonces el límite es ese valor.
  • Si una sucesión   tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
  • Si una sucesión   tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
  • Si una sucesión   converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
  • Si una sucesión   tiende a menos infinito y   entonces   tiende a 0.
  • Si la sucesión (xn) tiene límite entonces es acotada; esto es, hay un número positivo h tal que |xn| < h para cualquier n.
  • Cuando dos sucesiones tienen límite, se tiene que la suma (diferencia) de tales sucesiones tiene límite que es igual a la suma (diferencia) de los respectivos límites de las sucesiones.
  • En el caso de que dos sucesiones tengan límites entonces su producto también tiene límite, que es igual producto de los respectivos límites.
  • Cuando cada término de una sucesión se multiplica por una constante k, el límite de este producto sucesión es igual al producto de k por el límite de la sucesión.
  • Si dos sucesiones son convergentes, siendo la segunda de ellas sin ningún término nulo y límite ≠ 0, entonces el cociente de la primera entre la segunda tiene límite, que es igual al cociente del límite de la primera entre el límite de la segunda sucesión.
  • Si una sucesión es monótona y acotada, entonces converge. Es la condición suficiente para la convergencia de una sucesión, que se conoce también como el Teorema de Weierstrass. Esta proposición es sobre la existencia del límite de una sucesión, pero no provee método alguno para obtener tal límite.
  • Para cualquiera sucesión convergente ( no necesariamente monótona) es válida la igualdad
 

Límite de una sucesión complejaEditar

Se dice que la sucesión converge hacia un complejo   si y solo si

 

Nótese que es la misma definición que para  , con módulo en lugar del valor absoluto.

Se puede escribir

  o más simplemente, si no hay ambigüedad  

Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene módulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto,   es también completo).

EjemplosEditar

  • Sucesiones en   ó  
  • Sucesiones en  
  • Sucesiones en el espacio  
  • Sucesiones en el espacio  
  • Sucesiones en el espacio de las funciones continuas  

Tipos de convergenciaEditar

Convergencia puntualEditar

El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular.

Una sucesión de funciones   definidas en un conjunto no vacío   con valores en un espacio métrico   converge puntualmente a una función   si

 

para cada   fijo. Esto significa que

(5) 

La sucesión de funciones   con   converge puntualmente a la función   puesto que

 

para cada   fijo.

Convergencia uniformeEditar

Una sucesión de funciones   definidas en un conjunto no vacío   con valores en un espacio métrico   converge uniformemente a una función   si para todo   existe un entero   (que depende de  ) tal que

 

para todo   y todo  . Es decir,

(6) 

El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5),   puede depender de   y de   mientras que en (6),   sólo puede depender de  . Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones   definidas por  . Esta sucesión converge puntualmente a la función

 

ya que

 

mientras que   Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para   no existe un   que satisfaga (6).

De especial interés es el espacio de las funciones continuas   definidas sobre un compacto   En este caso, una sucesión de funciones   converge uniformemente a una función   si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,

 

Sucesiones en otros espacios matemáticosEditar

Una sucesión de elementos   de un espacio métrico   converge a un elemento   si para todo número   existe un entero positivo   (que depende de  ) tal que

(1) 

Intuitivamente, esto significa que los elementos   de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a   si   es suficientemente grande, ya que   determina la distancia entre   y  . A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.

La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado   la norma   induce la métrica   para cada  ; en el caso de un espacio con producto interno   el producto interno   induce la norma   para cada  

Convergencia uniforme sobre compactosEditar

Convergencia débilEditar

Una sucesión se dice que converge débilmente a   o en sentido débil si para toda funcional lineal  ,   converge a  .

Por ejemplo la serie   desde   hasta infinito converge débilmente a cero. Pues:[cita requerida]
 
Todo esto, pues   es lineal.

Límite en un espacio topológicoEditar

Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos   en un espacio topológico T:

Si   se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe
 
si y solo si para todo entorno S de L existe un número natural N tal que   para todo  

De forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.

Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes,[cita requerida] pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).

Teoría de la probabilidadEditar

En teoría de la probabilidad existen diferentes nociones de convergencia: convergencia de funciones medibles, convergencia en distribución y límites de variables aleatorias.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. a b Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 19. ISBN 9788421659854. 

Enlaces externosEditar