Lema de Gauss

En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si es un dominio de factorización única (DFU) y es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo es irreducible en si y sólo si lo es en .

El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en y la irreducibilidad del mismo polinomio en , puede demostrarse que al ser un DFU también lo es .

Así, se tiene como corolario que si es un DFU entonces también lo es , sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, no es un DIP pero sí es un DFU.

También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.

Ejemplo de usoEditar

Hallemos las raíces racionales del polinomio racional

 

Limpiando los denominadores de   se obtiene el polinomio entero   con las mismas raíces:

 

Claramente, 0 es raíz de multiplicidad 3 de   (y de  ), y las restantes raíces racionales son las de

 

Aquí,   y  .

Los divisores de   son   y los divisores de   son  , luego las raíces racionales se buscan en el conjunto:

 

Chequeando uno obtiene que   y  . Así, las raíces racionales distintas de   son   y  , para conocer con que multiplicidad, se puede o bien dividir   por   y volver a evaluar el cociente en   y  . O bien también se puede derivar  :

 

y se tiene que   mientras que  . O sea   es raíz de multiplicidad ≥ 2 y   es raíz simple.

Volviendo a derivar  :   y  .

Se concluye que -1 es raíz doble de  .

Finalmente la factorización de   en   es:

 

Y dado que  , resulta la siguiente factorización de   en  :

 

Enlaces externosEditar

  • Polinomios y Raíces por Teresa Krick, Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Argentina.