El lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente:

Max Zorn, fotografiado en 1930.

Debe su nombre al matemático Max Zorn.

Nociones preliminares editar

Los términos se definen como sigue.

Dado un conjunto  , un orden en ese conjunto es una relación   definida entre elementos del conjunto con las tres propiedades siguientes:

  • Reflexividad:  .
  • Antisimetría:  .
  • Transitividad:  .

En este caso, diremos que   es un conjunto parcialmente ordenado. Si además se tiene la siguiente propiedad:

  •  ,

diremos que   es un conjunto totalmente ordenado.

Nótese que el orden más habital (en los números enteros, reales, etc.) es total, pero hay otros órdenes que no tienen por qué serlo. Por ejemplo, en  , se puede comprobar que la relación de divisibilidad es un orden:   (tiene las tres propiedades anteriores). Sin embargo, no es un orden total, pues hay elementos que no son comparables. Por ejemplo, el 3 y el 5 no son comparables por ese orden, pues ni uno divide al otro, ni el otro al uno.

Diremos que un subconjunto   de   tiene una cota superior   si   para cualquier  ; no se necesita que   sea miembro de  . Por ejemplo, 10 es una cota superior de   con el orden habitual en  , sin embargo no lo es con el orden de divisibilidad, pues  . En este caso, una cota podría ser, por ejemplo,  .

Un elemento   es maximal si el único   tal que   es   mismo. Nótese la diferencia entre maximal y máximo: un elemento es maximal de un conjunto si no existe ningún elemento más grande en el conjunto, y es máximo si es más grande que todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, en   con el orden de divisibilidad, el conjunto   tiene dos maximales: el 4 y el 6, pues ninguno divide a ningún otro elemento del conjunto. Sin embargo, ninguno de ellos es un máximo, pues ninguno es más grande (es múltiplo) que todos los demás.

Con esto ya estamos en condiciones de entender el enunciado:

Demostración a partir del axioma de elección editar

El axioma de elección dice que dada una familia (posiblemente infinita) de conjuntos no vacíos podemos definir una aplicación que tome un elemento de cada conjunto:

 .

Con este axioma podemos demostrar el lema de Zorn:

Sea que   el conjunto parcialmente ordenado del enunciado. Suponemos que   no tiene ningún elemento maximal y llegaremos a contradicción.

Por hipótesis, cada subconjunto   totalmente ordenado tiene una cota superior. Por el axioma de elección podemos definir una función   que dado cada uno de estos subconjuntos devuelva su cota superior. Además, como estamos suponiendo que   no tiene ningún elemento maximal, se puede pedir que la cota de cada uno de estos subconjuntos no esté dentro del subconjunto. Es decir, dado   totalmente ordenado,   nos da una cota superior. Para cada   y  , denotamos   (notamos que, en particular,  )

Diremos que   es un  -conjunto si:

(i) Es totalmente ordenado.

(ii) No contiene secuencias infinitamente descendientes, es decir, no existen secuencias   infinitas en  .

(iii) Para cada  ,   (está bien definido porque  ).

Observamos que:

  • El conjunto vacío es trivialmente un  -conjunto.
  • Si   es un  -conjunto, entonces   también lo es.  
Demostración de  
Esto último se demuestra comprobando las tres propiedades:

(i)   es totalmente ordenado porque   ya lo era y, por definición,  .

(ii) Las longitudes de las secuencias descendientes ha aumentado en uno al añadir  , pero si eran finitas, lo siguen siendo.

(iii) Para  , es cierto porque   ya era un  -conjunto, y  .

Afirmamos que si   son  -conjuntos diferentes, entonces   para cierto   o bien   para cierto  .  

Demostración de  
Sea  . Afirmamos que   o   para cierto  . Supongamos que  . Entonces,   y, como   es un  -conjunto, por (ii), existe un   mínimo. Por tanto,  . Por otro lado, si  , como  , tenemos que   y  , por lo que  , pero  , lo cual es una contradicción. Por tanto,   y así,  , como queríamos. Simétricamente, tenemos que   o   para cierto  .Supongamos que   y que  . Entonces,   para ciertos  , pero por ser    -conjuntos,   y  , lo que es contradictorio. Por tanto,   o  . Si  , como   por hipótesis,  , por lo que, por lo anterior,   para cierto  . De donde   para cierto  . Simétricamente, si  , entonces   para cierto  . Es decir,   para cierto   o bien   para cierto  , que es lo que queríamos ver.

Sea ahora  . Entonces,  , si   es un  -conjunto que contiene a  , tenemos que  . 

Demostración de  
Vemos las dos inclusiones:

  Claramente,  , porque  .

  Sea   y supongamos que   es un  -conjunto tal que  .

  • Si  , entonces   y, como  , entonces  , por lo que  .
  • Si  , en particular,   y, por  ,   para cierto  . Además, tenemos que   porque si  , por lo que  , lo que es contradictorio. Entonces,  .

En cualquier caso,  , como queríamos.

Por último,   es un  -conjunto. 

Demostración de  
(i) Es totalmente ordenado: Por definición de  ,    -conjuntos con  . Por  ,  , de forma que   o  . En cualquier caso,   y   están en un único  -conjunto y son, por tanto, comparables.

(ii) No existen secuencias descendientes infinitas: Supongamos que existe una:  . Sea   un  -conjunto con   tiene una secuencia descendiente infinita, lo cual es contradictorio con que   es un  -conjunto.

(iii)  . Sea   un  -conjunto con  . Entonces,  .

Por tanto,   es, por definición y por  , el  -conjunto más grande, pero   y, por  ,   es un  -conjunto más grande que  , lo que es contradictorio. La contradcción proviene de haber supuesto que   no tiene ningún elemento maximal. Por tanto, sí que tiene, que es lo que queríamos demostrar.  

Consecuencias editar

Al igual que el teorema del buen orden, el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cualquiera de ellos, junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, basta para probar los otros. Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes, tales como el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología, y los teoremas en álgebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpo tiene clausura algebraica.

Ejemplo editar

Se considerará una aplicación usual del lema de Zorn: la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal. Sea P el conjunto de todos los ideales bilaterales de R excepto R mismo, que no es vacío pues incluye al menos al ideal trivial {0} de R. Este conjunto está parcialmente ordenado por inclusión.

Sea entonces T un subconjunto totalmente ordenado de P; se demostrará que T tiene cota superior, es decir, hay un ideal IR que contiene a todos los miembros de T, pero que no es igual a R (de lo contrario no estaría en P). Sea I la unión de todos los ideales en T. Esta es también un ideal: para cualquier a, bI, existen J, KT tales que aJ y bK. Como T está totalmente ordenado, KJ o JK. En el primer caso, bJ y por lo tanto, como J es un ideal, a + b, ar, raJI para cualquier rR. En el segundo caso se razona de manera similar.

Para demostrar que I es distinto de R, basta con observar que un ideal es igual a R si y solo si incluye a 1. Es evidente que si es igual a R debe incluir a 1; recíprocamente, si incluye a 1 debe incluir a 1r = r para cualquier rR, y por lo tanto debe contener a R. Ahora bien, si I = R debería incluir a 1, con lo que habría un JT tal que 1 ∈ J, y por lo tanto J = R, contradiciendo la definición de P, que no lo incluía.

Se demostró que T tiene una cota superior en P. Aplicando el lema de Zorn, se tiene que P debe tener un elemento maximal, y por lo tanto, R tiene un ideal maximal.

Es de notar que la demostración depende del hecho de que R tenga un elemento unitario 1. De lo contrario, no solo la prueba fallaría, el mismo enunciado del teorema sería falso.

Referencias editar

  • Jinpeng An, A proof of Zorn's lemma, disponible en [1] (en inglés).

Véase también editar