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En matemática, dentro de la teoría de números la ley de reciprocidad cuadrática designa al "teorema áureo" que relaciona la solubilidad de dos congruencias de segundo grado relacionadas:

donde y son números primos impares.[1]​ Esta proposición fue descubierta por Carl Friedrich Gauss a los 18 años de edad y la demostró un año después.[2]​. Esta proposición es reconocida como uno de los resultados más preciosos de la teoría de los números. Fue formulada por el prolífico Leonardo Euler en 1783; trece años después se encargó de probarla Carlos Gauss. [3]

Índice

EnunciadoEditar

El enunciado del teorema áureo es el siguiente:

Teorema áureo (ley de reciprocidad cuadrática)

Si ninguno de los primos   o   pertenece a la sucesión   entonces una de las congruencias tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión   entonces o bien ambas congruencias tienen solución o bien ninguna de las dos tiene solución.

El enunciado puede simplificarse utilizando el símbolo de Legendre:

 

entonces el enunciado del teorema puede resumirse de la siguiente forma:

 

Como   es par si alguno de los primos p o q es congruente con 1 mod 4, y es impar en otro caso,   es igual a 1 si p o q es congruente con 1 mod 4, y es igual a –1 si ambos son congruentes con 3 mod 4.

Algunas de las demostraciones más sencillas de la ley de reciprocidad cuadrática utilizan el lema de Gauss que trata sobre residuos cuadráticos, y que él mismo utilizó en dos de sus ocho demostraciones.

HistoriaEditar

El teorema (como conjetura) fue enunciado inicialmente por Euler en 1742 en una carta a Goldbach. Alrededor de medio siglo después, en 1798 Legendre publicó una demostración que se basaba en argumentos no probados.

El teorema fue, por primera vez, fehacientemente demostrado por Gauss,[4]​ en 1801 en su libro Disquisitones Arithmeticae, donde da dos demostraciones del mismo. Gauss lo tenía en gran estima y lo denominó el teorema áureo.

Ya en el siglo XXI, en el libro Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, de Franz Lemmermeyer, publicado en 2000, aparecen citadas 196 demostraciones diferentes de la ley de reciprocidad cuadrática.

Tabla de características cuadráticas de los números primosEditar

Claves
R q es un residuo (mod p)    q ≡ 1 (mod 4) o p ≡ 1 (mod 4) (o ambos)  
N q es no residuo (mod p)  
R q es un residuo (mod p) ambos q ≡ 3 (mod 4) y p ≡ 3 (mod 4)
N q es no residuo (mod p)  
q
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
p 3   N R N R N R N N R R N R N N N R R N R R N N R
5 N   N R N N R N R R N R N N N R R N R N R N R N
7 N N   R N N N R R N R N R N R N N R R N R N N N
11 R R N   N N N R N R R N N R R R N R R N N N R R
13 R N N N   R N R R N N N R N R N R N N N R N N N
17 N N N N R   R N N N N N R R R R N R N N N R R N
19 N R R R N R   R N N N N R R N N R N N R N R N N
23 R N N N R N N   R R N R N R N R N N R R N N N N
29 N R R N R N N R   N N N N N R R N R R N N R N N
31 N R R N N N R N N   N R N R N R N R R N N N N R
37 R N R R N N N N N N   R N R R N N R R R N R N N
41 N R N N N N N R N R R   R N N R R N N R N R N N
43 N N N R R R N R N R N R   R R R N R N N R R N R
47 R N R N N R N N N N R N N   R R R N R N R R R R
53 N N R R R R N N R N R N R R   R N N N N N N R R
59 R R R N N R R N R N N R N N R   N N R N R N N N
61 R R N N R N R N N N N R N R N N   N N R N R N R
67 N N N N N R R R R N R N N R N R N   R R N R R N
71 R R N N N N R N R N R N R N N N N N   R R R R N
73 R N N N N N R R N N R R N N N N R R R   R N R R
79 N R N R R N R R N R N N N N N N N R N R   R R R
83 R N R R N R N R R R R R N N N R R N N N N   N N
89 N R N R N R N N N N N N N R R N N R R R R N   R
97 R N N R N N N N N R N N R R R N R N N R R N R  

Otras leyes de reciprocidadEditar

Existen otras leyes de reciprocidad: cúbica, bicuadrática y otras de grados superiores o de naturaleza algo diferente, aunque normalmente se encuentran fuera del ámbito de la aritmética de números enteros, y es necesario acudir a cuerpos de números algebraicos.

Véase tambiénEditar

Notas y referenciasEditar

  1. Se habla de número primo impar al referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par.
  2. T. M. Apostol: Introducción a la teoría analítica de números, pág. 232 ISBN 84-291-5006-4
  3. Burton W. Jones Teoría de los números Editorial Trillas S. A. Ciudad de México (1969) pág. 138
  4. Gauss, DA § 4, arts 107–150
  • Gauss, Carl Friedrich (1995) [1801], Disquisitiones arithmeticae, traducido por Hugo Barrantes, Michael Josephy y Ángel Ruiz, San José, Costa Rica: Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas (CIMM), Universidad de Costa Rica., archivado desde el original el 1 de agosto de 2010, consultado el 24 de diciembre de 2016 

Enlaces externosEditar