Logaritmo natural

función matemática

El logaritmo natural suele ser conocido como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.

Logaritmo natural
Log.svg
Gráfica de Logaritmo natural
Definición
Tipo Función real
Descubridor(es) Alex Hack (1668)[1]
Dominio
Codominio
Imagen
Propiedades Biyectiva
Cóncava
Estrictamente creciente
Continua
Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada
Función inversa
Límites
Funciones relacionadas Logaritmo
Función exponencial

En matemáticas, se denomina logaritmo natural al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es . El logaritmo natural suele denotarse por o como y en algunos casos, si la base está implícita entonces como .

El logaritmo natural de un número es entonces la potencia a la cual el número debe ser elevado para ser igual a . Por ejemplo, es pues . El logaritmo natural de es pues mientras que el logaritmo natural de es pues .

Desde el punto de vista analítico, el logaritmo natural puede definirse para cualquier número real positivo como el área bajo la curva entre las rectas y . La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.[2]​ Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es una función real con dominio de definición los números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial natural:

La función inversa del logaritmo natural es la función exponencial.

HistoriaEditar

La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668,[1]​ a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell que ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural.[3]​ Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico,[4]​ puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente.

Origen del término logaritmo naturalEditar

Inicialmente, y desde que el sistema decimal se volvió el sistema de numeración más común, podría parecer que la base 10 fuese más «natural» que la base e. Pero matemáticamente, el número 10 no es particularmente significativo. Su uso cultural —como base numérica para muchas sociedades— probablemente surge del típico número de dedos humanos.[5]​ Otras culturas basaron sus sistemas de numeración eligiendo diversas bases como 5, 8, 12, 20, y 60.[6][7][8]

loge es el logaritmo «natural» porque automáticamente surge, y aparece más comúnmente, en matemáticas. Por ejemplo, consideremos el problema de derivar una función logarítmica:[9]

 

Si la base   es igual a  , entonces la derivada es simplemente  , y en   esta derivada es igual a 1. Otra razón por la cual el logaritmo de base -e- es el más natural es que puede ser definido muy fácilmente en términos de una integral o por series de Taylor y esto no sería tan sencillo si el logaritmo fuera de otra base.

Sentidos adicionales de esta naturalidad no hacen uso del cálculo. Como ejemplo, tenemos un número de series simples relacionadas con el logaritmo natural. Además de que Pietro Mengoli y Nicholas Mercator lo llamaron logarithmus naturalis unas décadas antes de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo.[10]

DefiniciónEditar

 
  normalmente se representa como el área bajo la curva   entre las rectas   hasta  . Si  , el área de   hasta   se toma como negativa.

El logaritmo natural puede ser definido de distintas formas, todas equivalentes. El logaritmo natural   para valores   puede ser definido como el área bajo la gráfica de   entre las rectas   y  , esta es la integral

 

Si   entonces esta área es negativa.

El número   puede ser definido como el único número real   para el cual  .

PropiedadesEditar

Mediante la definición logaritmo pueden demostrarse las siguientes propiedades:

Para   entonces

 

Por definición

 

esta integral puede descomponer como

 

Realizando el cambio de variable   en la segunda integral se obtiene:

 

Para   y   puede demostrarse por inducción que

 

Si   entonces

 

como

 

entonces se sigue que

 

Otras propiedadesEditar

Aparte de las propiedades generales, se destacan las siguientes:

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.   para  .
  5.   para  .
  6.  
  7.   para  .
  8.   para   y  .

DerivadaEditar

 
Los polinomios de Taylor para   únicamente proporcionan aproximaciones precisas en el rango  . Nótese que para  , los polinomios de Taylor de mayor grado son pésimas aproximaciones.

La derivada del logaritmo natural viene dada por

 

Si el logaritmo natural está definido como

 

entonces la derivada de   se sigue como consecuencia del primer Teorema Fundamental del Cálculo.

Si el logaritmo natural está definido como la inversa de la función exponencial entonces la derivada (para  ) puede calcularse utilizando las propiedades de los logaritmos y por una definición de la función exponencial.

Por definición

 

considerando   entonces

 

entonces la derivada puede hallarse por definición

 

SeriesEditar

Si   y   entonces

 

que corresponde a la serie de Taylor de   alrededor de  .

Haciendo un cambio de variable se obtiene

 

para   y  , a esta serie se le conoce como serie de Mercator.

Utilizando la identidad funcional

 

y sustituyendo   en la serie de Taylor del arcotangente hiperbólico se obtiene la siguiente serie, cuya convergencia es más rápida que la anterior y es válida para valores positivos de x:

 

Aplicando una trasformación binomial a la serie de Taylor se obtiene esta segunda serie, válida para valores x con valor absoluto mayor que 1:

 

Nótese que   es su propia función inversa, con lo que para obtener el logaritmo natural de un cierto número y es suficiente con sustituir   en el lugar de x.

Logaritmo natural en integraciónEditar

El logaritmo natural permite la integración sencilla de funciones de la forma  : una primitiva   viene dada por  . Esto es debido a la regla de la cadena y también a lo siguiente:

 

En otras palabras,

 

También se puede ver de esta manera,

 

Un error muy común es escribir  , sin embargo eso incorrecto y contradice la propia definición de  

EjemploEditar

Considere  

 

Tomando   y   se tiene que

 

donde   es una constante arbitraria de integración.

Integración por partesEditar

El logaritmo natural puede ser integrado utilizando el método de integración por partes, esto es utilizando la fórmula

 

Si consideramos

 

entonces

 

Valor numéricoEditar

Para   donde  , cuanto más cercano sea el valor de x a 1, más rápido será el ritmo de convergencia hacia el valor del logaritmo. Las propiedades asociadas con el logaritmo se pueden utilizar para acelerar la obtención del valor del logaritmo:

 
 

Históricamente, estas técnicas se utilizaron antes del uso de las calculadoras y ordenadores, incluso se hacia uso de tablas numéricas, y se realizaban artificios aritméticos como los observados arriba.

Logaritmo natural de 10Editar

El logaritmo natural del número 10, que tiene el desarrollo numerico decimal de 2.30258509 ..., interviene de manera muy importante, por ejemplo, en el cálculo de logaritmos naturales de números representados en notación científica, números muy grandes o números muy pequeños. El número, de acuerdo a propiedades de los logaritmos, es convertido al logaritmo de un producto con un factor de multiplicación igual a un número en el rango real de:  , y otro factor igual a una potencia de 10:

 

Esto significa que se puede calcular efectivamente los logaritmos de números con magnitudes muy grande o muy pequeña, usando los logaritmos de un conjunto relativamente pequeño de decimales en el rango:  .

Fracciones continuasEditar

Si bien no hay fracciones continuas simples, están disponibles varias fracciones continuas generalizadas, entre las cuales incluyen:

 
 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001-09), «The number e» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html, consultado el 2 de febrero de 2009 .
  2. Pietro Mengoli y Nicholas Mercator le dieron esta denominación por razones independientes del cálculo. Véase Ballew, Pat. «Math Words, and Some Other Words, of Interest». Archivado desde el original el 11 de febrero de 2012. Consultado el 8 de abril de 2011.  y la anterior referencia de MacTutor (2001).
  3. Cajori, Florian (1991). A History of Mathematics, 5th ed. AMS Bookstore. p. 152. ISBN 0821821024. 
  4. Flashman, Martin. «Estimating Integrals using Polynomials». Consultado el 23 de marzo de 2008. 
  5. Boyers, Carl (1968). A History of Mathematics. Wiley. 
  6. Harris, John (1987). «Australian Aboriginal and Islander mathematics» (PDF). Australian Aboriginal Studies 2: 29-37. Archivado desde el original el 31 de agosto de 2007. Consultado el 12 de febrero de 2008. 
  7. Large, J.J. (1902). «The vigesimal system of enumeration». Journal of the Polynesian Society 11 (4): 260-261. Consultado el 30 de marzo de 2011. 
  8. Cajori, Florian (1922). «Sexagesimal fractions among the Babylonians». American Mathematical Monthly 29 (1): 8-10. JSTOR 2972914. doi:10.2307/2972914. 
  9. Larson, Ron (2007). Calculus: An Applied Approach (8va edición). Cengage Learning. p. 331. ISBN 0-618-95825-8. , Section 4.5, page 331
  10. Ballew, Pat. «Math Words, and Some Other Words, of Interest». Archivado desde el original el 11 de febrero de 2012. Consultado el 16 de septiembre de 2007. 

BibliografíaEditar

  • "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1

Enlaces externosEditar