Método de Runge-Kutta

familia de métodos iterativos implícitos y explícitos

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos alemanes C. Runge y M. W. Kutta.

DescripciónEditar

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sean:

 

una ecuación diferencial ordinaria, con   donde   es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

 

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

 ,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento   entre los sucesivos puntos   y  . Los coeficientes   son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

 

con   coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes   del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,   para  , los esquemas son explícitos.

EjemploEditar

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en   y otra en  . ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

 

Para estimar ƒ(t,y) en   se usa un esquema Euler

 

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

 

de manera que se obtiene la expresión:

 

Los coeficientes propios de este esquema son:  

VariantesEditar

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

Métodos de Runge-KuttaEditar

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto ordenEditar

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta usado ampliamente es el de cuarto orden. Es usado tanto que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

Definiendo un problema de valor inicial como:

 

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

 

Donde

 

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde   es la pendiente al principio del intervalo,   es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando   para determinar el valor de y en el punto   usando el método de Euler.   es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando   para determinar el valor de y;   es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por  . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

 

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de  , mientras que el error total acumulado tiene el orden  . Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de  , razón por la cual es usado en los métodos computacionales.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  • J. Arrieta, R. Ferreira, R. Pardo y A. Rodríguez-Bernal. "Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias". Paraninfo, Madrid, 2020. ISBN 9788428344418, ISBN 8428344418.
  • Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth (1998). Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations (en inglés) (1ª edición). Philadelphia (USA): SIAM. ISBN 0898714125. 
  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2001). 7, ed. Análisis Numérico. Cengage Learning Latin America. ISBN 9706861343. 

Enlaces externosEditar