Matriz booleana

matriz de números cuyas componentes o entradas son exclusivamente ceros o unos

Una matriz booleana es una matriz de números cuyas componentes o entradas son exclusivamente ceros o unos. Las matrices booleanas son útiles porque pueden representar objetos abstractos como relaciones binarias o grafos.

Una matriz booleana general de nxm elementos tiene la forma:

Donde aij = 0 o aij = 1.

EjemplosEditar

Ejemplos de matrices booleanas son las siguientes:

 

Operaciones con matrices booleanasEditar

Las operaciones que se pueden realizar entre matrices booleanas son tres: unión, conjunción y producto booleano. Sin embargo, estas operaciones no pueden realizarse sobre dos matrices cualesquiera, sino que deben cumplir ciertos criterios para poder llevarse a cabo. En particular, en el caso de la unión y la conjunción, las matrices que intervienen en la operación deben tener el mismo tamaño, y en el caso del producto booleano, las matrices deben cumplir con las mismas condiciones que para formar el producto de matrices.

Unión / DisyunciónEditar

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define   la unión de A y B, por:

 

Intersección / ConjunciónEditar

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define   la intersección de A y B, por:

 

Otras operaciones matricialesEditar

La traspuesta de una matriz booleana es también otra matriz booleana; pero las operaciones con matrices booleanas no siempre producen matrices booleanas. Un ejemplo de operación que no es interna para las matrices booleanas es la suma:

 

Sin embargo, si se consideran las operaciones no sobre números reales sino sobre elementos del cuerpo de característica 2   queda garantizado que cualquier operación entre matrices booleana es boolena. Para el ejemplo anterior se tiene:

 

Matriz booleana asociada a una relaciónEditar

Dada relación binaria   sobre un conjunto de n elementos  , para calcular la clausuara simétrica conviene representar la relación como matriz booleana definida mediante:

 

 
Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas.

El grafo no dirigido de la figura adjunta puede entenderse como una relación binaria. Dos elementos están relacionados si existe una línea que los una directamente. La matriz asociada a la relación binaria de conexión directa se llama matriz de incidencia, que es una matriz booleana que viene dada por:

 

El elemento ij de la anterior matriz es 1 si existe una línea que una directamente los círculos i y j y 0 en caso contrario.