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Matriz invertible

elemento algebraico matricial con la propiedad de tener matriz inversa
(Redirigido desde «Matriz inversa»)

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que: , donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

EjemplosEditar

Matriz de dos filas (matriz adjunta)Editar

Dada una matriz de 2x2 con determinante no nulo:

 

Está definida siempre y cuando  . Así por ejemplo la inversa de la matriz

  ya que  

Dada una matriz de 3x3 con determinante no nulo:

 


 

Propiedades de la matriz inversaEditar

  • La inversa de una matriz, es única.
  • La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:
 
  • Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
 
  • Y, evidentemente:
 
  • Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
 

donde   es el determinante de A y   es la matriz de adjuntos de A, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto[1][2][3][4][5]​ en el artículo matriz de adjuntos).

  • El conjunto de matrices de nxn con componentes sobre el cuerpo   que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal   de orden n. En este grupo la operación de inversa es un automorfismo  .

Demostración de la unicidad de la inversaEditar

Supongamos que B y C son inversas de A

 

Multiplicando ambas relaciones por C

 

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradasEditar

Se probará la doble implicación.

Suficiencia  Editar

Suponiendo que existe   tal que  . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

 

usando la propiedad  

 

Por lo tanto,   es distinto de cero.

 

Necesidad  Editar

Suponiendo que el determinante de   es distinto de cero, sea   es el elemento ij de la matriz   y sea   la matriz   sin la fila   y la columna   (comúnmente conocida como  -ésimo menor de A). Entonces

 

Sea  , entonces

 

Esta afirmación es válida por propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación es el determinante de la matriz   con la columna   igual a la columna   y los demás términos iguales a los de  . Entonces

 

donde   cuando   y   cuando  . Entonces

 

Es decir que   tiene inversa izquierda

 

Como  , entonces   también tiene inversa izquierda que es

 

Entonces

 

luego, aplicando la transpuesta

 

Que es lo que se quería demostrar

Métodos de inversión de matricesEditar

Solución analíticaEditar

Inversión de matrices 2×2Editar

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:[6]

 

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.


Ejemplo numérico:

 

Inversión de matrices de órdenes superioresEditar

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

 

Donde   es el determinante de A y   es la matriz de adjuntos de A.

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

Métodos numéricosEditar

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

Grupo linealEditar

El conjunto de todas las matrices   que admiten inversa se denota es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como  . Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además   es un conjunto abierto (con la topología inducida de  ).

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Apostol, Tom M. (2002). «3. Determinantes, 5. Autovalores de operadores en espacios euclídeos». Calculus vol. 2 (2ª edición). Barcelona: Reverté S.A. pp. 113,151. ISBN 84-291-5003-X. 
  2. Clapham, Christopher (2004). Diccionario de Matemáticas (1ª edición). Madrid: Editorial Complutense. pp. 3-4. ISBN 84-89784-56-6. 
  3. Castañeda Hernandez, Sebastián; Barrios Sarmiento, Agustín (2004). «3.6 Cofactores y Regla de Cramer». Notas de álgebra lineal (2ª edición). Barranquilla (colombia): Ediciones Uninorte. p. 193. ISBN 958-8133-89-0. 
  4. Díaz Martín, Jose Fernando (2005). «6. Determinantes». Introduccion Al Algebra (1ª edición). La coruña (España): NetBiblo. pp. 229-230,237-238. ISBN 84-9745-128-7. 
  5. Perelló, Miquel A. (2002). «4.3.3. Cálculo por determinantes de la matriz inversa». Álgebra lineal. Teoría y práctica. Barcelona: Edicions UPC. pp. 129,136. ISBN 8483016621. 
  6. Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications. Thomson Brooks/Cole. p. 46. ISBN 0-03-010567-6. 

Enlaces externosEditar