Menor (álgebra lineal)
En álgebra lineal, un menor o menor complementario de una matriz es el determinante de alguna submatriz, obtenido de mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de matrices cuadradas se llaman primeros menores y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas.
Definición
editarSea una matriz de y un entero con , un menor de orden de es el determinante de una matriz obtenida de mediante la eliminación de filas y columnas.
Puesto que hay:
- (leído como "m combinaciones de k")
maneras de escoger filas de filas, y hay
maneras de escoger columnas de columnas, hay en total
menores de tamaño .
Notación
editarEl menor (a menudo denotado como ) de una matriz cuadrada de , es definido como el determinante de la matriz formada mediante la eliminación de la -ésima fila y la -ésima columna de . Un menor puede ser referido también como -ésimo menor, o simplemente menor .
puede encontrarse también eliminando los índices correspondientes al elemento aij de la matriz , en cuyo caso decimos que es el menor de
Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columna de una matriz cuadrada (tal como ) es llamado primer menor. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama segundo menor.[1]
Menores de una matriz
editarEl determinante de cualquier submatriz de de se llama menor de tamaño .
- Si la submatriz es una submatriz principal, su determinante es un menor principal.
Tomando La submatriz = = es una submatriz principal y su determinante es un menor principal.
- Si la submatriz es una submatriz principal superior, su determinante es un menor principal superior.
En la misma matriz, las submatrices superiores son: ; ; Los determinantes de las submatrices | | = 1, | | = 3, | = 26 son los menores escalonados superiores.
- Si las submatriz es una submatriz principal inferior, su determinante es un menor principal inferior.
Las submatrices escalonadas inferiores de A son: ; ; Los determinantes de las submatrices , , son los menores inferiores principales.[2]
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
- ↑ Horn R.A., Johnson C.R. (2013). Matrix Analysis.
Enlaces externos
editar- Weisstein, Eric W. «Minor». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.