Menor (álgebra lineal)

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En álgebra lineal, un menor o menor complementario de una matriz es el determinante de alguna submatriz, obtenido de mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de matrices cuadradas se llaman primeros menores y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas.

DefiniciónEditar

Sea   una matriz de   y   un entero con  , un menor de orden   de   es el determinante de una matriz   obtenida de   mediante la eliminación de   filas y   columnas.

Puesto que hay:

  (leído como "m combinaciones de k")

maneras de escoger   filas de   filas, y hay

 

maneras de escoger   columnas de   columnas, hay en total

 

menores de tamaño  .

NotaciónEditar

El menor   (a menudo denotado como  ) de una matriz cuadrada   de  , es definido como el determinante de la matriz   formada mediante la eliminación de la  -ésima fila y la  -ésima columna de  . Un menor   puede ser referido también como  -ésimo menor, o simplemente menor   .

  puede encontrarse también eliminando los índices correspondientes al elemento aij de la matriz  , en cuyo caso decimos que   es el menor de  

Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columna de una matriz cuadrada   (tal como  ) es llamado primer menor. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama segundo menor.[1]

Menores de una matrizEditar

El determinante de cualquier submatriz de   de   se llama menor de tamaño  .

Tomando   La submatriz   =   =   es una submatriz principal y su determinante   es un menor principal.

 En la misma matriz, las submatrices superiores son:  ;  ;   Los determinantes de las submatrices | | = 1, | | = 5, |  = 26 son los menores escalonados superiores.

  Las submatrices escalonadas inferiores de A son:   ;  ;  Los determinantes de las submatrices   ,   ,   son los menores inferiores principales.[2]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
  2. Horn R.A., Johnson C.R. (2013). Matrix Analysis. 

Enlaces externosEditar