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En matemáticas, la multiplicidad de un miembro de un multiconjunto es el número de pertenencias que este tiene en el multiconjunto. Por ejemplo, este término se usa para referirse al número de veces que cierto polinomio tiene raíz en un punto determinado.

La razón más habitual para considerar nociones de multiplicidad es para contar sin especificar excepciones (por ejemplo, especificar que las raíces dobles se cuentan dos veces). De aquí la expresión contado con multiplicidad (en ocasiones implícita).

Índice

Multiplicidad de un factor primoEditar

En la factorización en factores primos

60 = 2 × 2 × 3 × 5

la multiplicidad de 2 es 2; la de 3 es 1, y la de 5 es 1. Así, 60 tiene 4 factores primos, pero sólo 3 factores primos distintos.

Multiplicidad de la raíz de un polinomioEditar

Sea   un campo y   un polinomio de una variable con coeficientes en  . Un elemento   ∈   se llama raíz de multiplicidad   de   si existe un polinomio   tal que   ≠   y   =  . Si  , entonces   recibe el nombre de raíz simple.

Por ejemplo el polinomio   tiene   y   como raíces, y puede escribirse como  . Esto significa que   es una raíz de multiplicidad  , y   es una raíz 'simple' (multiplicidad  ).

Multiplicidad de cero de una funciónEditar

de Sea   un intervalo de R y   una función de   a R o C y   ∈   sea un cero de  , por ejemplo, un punto tal que  . El punto   toma el nombre de cero de multiplicidad   de   si existe un número real   ≠   tal que

 

De forma más general, sea   una función de un subconjunto abierto   de un espacio vectorial con norma   en un espacio vectorial con norma  , y sea   ∈   cero de  , por ejemplo, un punto tal que   =  . El punto   recibe el nombre de cero de multiplicidad   de   si existe un número real   ≠   tal que

 

El punto   se llama cero de multiplicidad ∞ de   si para cada  , se cumple que

 

Ejemplo 1. Dado que

 

0 es un cero de multiplicidad 1 de la función seno.

Ejemplo 2. Dado qué

 

0 es un cero de multiplicidad 2 de la función  .

Ejemplo 3. Considérese la función   de R en R tal que   y que   cuando   ≠  . Entonces, dado que

  para todo   ∈ N

0 es un cero de multiplicidad ∞ para la función  .

En análisis complejoEditar

Sea   una raíz de una función holomorfa  , y   el último entero positivo   tal que, la  ésima derivada de   evaluada en   es diferente de cero. Entonces la serie de potencias de   sobre   empieza con el término  ésimo, y   entonces tiene raíz de multiplicidad (o “orden”)  . Si  , la raíz recibe el nombre de raíz simple (Krantz 1999, p. 70).

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  • Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.