Núcleo (matemática)

En matemática y especialmente en álgebra lineal, el núcleo o kernel de un operador lineal A es el conjunto de todos los vectores cuya imagen bajo A sea el vector nulo.

Núcleo e imagen de un operador lineal L: V → W.

El núcleo de A se denota como Ker A o Nucl A, y es un subespacio vectorial del dominio de A.

EjemplosEditar

Considérese la función f(x, y)= x−y, definida para cualquier par de números reales (x,y), que es lineal ya que se cumple que

 .

Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden, en concreto el conjunto:

 

que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta   en  .

En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3), la forma lineal dada por el producto escalar   tiene por núcleo los vectores que satisfacen la ecuación matricial

 ,

que equivale a la ecuación lineal:

  .

La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores:  .

PropiedadesEditar

Dado un operador lineal   con matriz asociada A, el núcleo es un subespacio de  , cuya dimensión se denomina nulidad de A, que coincide con el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. El teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Véase tambiénEditar

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