Número altamente compuesto superior

número cuyos divisores cumplen determinadas condiciones

En matemáticas, un número altamente compuesto superior (SHCH por sus siglas en inglés) es un número natural que tiene la relación más alta de su número de divisibilidad con alguna potencia positiva de sí mismo que cualquier otro número. Es una restricción más fuerte que la de número altamente compuesto, que se define por tener más divisores que cualquier entero positivo más pequeño.

Función divisor d(n) hasta n = 250

EjemplosEditar

 
Gráfica del número de divisores de números enteros del 1 al 1000. Los números altamente compuestos están etiquetados en negrita y los números altamente compuestos superiores están marcados con estrellas. En el the SVG fichero, se puede pasar el cursor sobre una barra para ver sus estadísticas

A continuación se enumeran los primeros 10 números altamente compuestos superiores y su factorización.

# Factores
primos
SHCN
n
Factorización
prima
Exponentes
primos
# Divisores
d(n)
Factorización
primorial
1 2 2 1 2 2 2
2 6 2 ⋅ 3 1,1 22 4 6
3 12 22 ⋅ 3 2,1 3×2 6 2 ⋅ 6
4 60 22 ⋅ 3 ⋅ 5 2,1,1 3×22 12 2 ⋅ 30
5 120 23 ⋅ 3 ⋅ 5 3,1,1 4×22 16 22 ⋅ 30
6 360 23 ⋅ 32 ⋅ 5 3,2,1 4×3×2 24 2 ⋅ 6 ⋅ 30
7 2520 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 3,2,1,1 4×3×22 48 2 ⋅ 6 ⋅ 210
8 5040 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 4,2,1,1 5×3×22 60 22 ⋅ 6 ⋅ 210
9 55440 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 4,2,1,1,1 5×3×23 120 22 ⋅ 6 ⋅ 2310
10 720720 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 4,2,1,1,1,1 5×3×24 240 22 ⋅ 6 ⋅ 30030

Para un número superior altamente compuesto n existe un número real positivo ε tal que para todos los números naturales k menores que n, se tiene que

 

y para todos los números naturales k mayores que n se cumple que

 

donde d(n), la función divisor, denota el número de divisores de n. El término fue acuñado por Srinivasa Ramanujan (1915).[1]

Por ejemplo, el número con más divisores con respecto al valor de su raíz cuadrada es 12; lo que se puede demostrar revisando los altamente compuestos cercanos a 12.  

120 es otro número altamente compuesto superior porque tiene la proporción más alta de divisores con respecto a sí mismo elevado a la potencia 0,4.  

Los primeros 15 números altamente compuestos superiores, 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (sucesión A002201 en OEIS) son también los primeros 15 números colosalmente abundantes, que cumplen condiciones similares basadas en la función suma de divisores en lugar del número de divisores. Sin embargo, ningún conjunto es un subconjunto del otro.

PropiedadesEditar

 
Factores de potencias primas

Todos los números altamente compuestos superiores son altamente compuestos. Esto es fácil de probar: si hay algún número k que tiene el mismo número de divisores que n pero es menor que n (es decir,  , pero  ), entonces   para todo ε positivo, por lo que si un número n no es altamente compuesto, no puede ser altamente compuesto superior.

Una construcción efectiva del conjunto de todos los números altamente compuestos superiores está dada por la siguiente aplicación monótona de los números reales positivos.[2]​ Vamos

 

para cualquier número primo p y real x positivo. Entonces

  es un número altamente compuesto superior.

Téngase en cuenta que el producto no necesita calcularse indefinidamente, porque si   entonces  , por lo que el producto para calcular   puede cancelarse una vez por  .

También hay que considerar que en la definición de  ,   es análogo a   en la definición implícita de un número altamente compuesto superior.

Además, para cada número altamente compuesto superior   existe un intervalo semiabierto   tal que  .

Esta representación implica que existe una secuencia infinita de   tal que para el n-ésimo número altamente compuesto superior   se cumple que

 

Los primeros son   son 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (sucesión A000705 en OEIS). En otras palabras, el cociente de dos números altamente compuestos superiores sucesivos es un número primo.

Raíces superiores altamente compuestasEditar

Los primeros números altamente compuestos superiores se han utilizado a menudo como bases, debido a su alta divisibilidad con respecto a su tamaño. Por ejemplo:

Los números altamente compuestos superiores más grandes se pueden usar de otras maneras. Por ejemplo, el 120 aparece como el cien largo (el sistema de numeración usado en el ámbito cultural de las lenguas germánicas hasta el siglo XV), mientras que 360 ​​aparece como el número de grados de un círculo completo.

ReferenciasEditar

  1. Weisstein, Eric W. «Superior Highly Composite Number». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 5 de marzo de 2021. 
  2. Ramanujan (1915); see also URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar