Producto semidirecto

En la rama matemática de la teoría de grupos, se denomina producto semidirecto de dos grupos a un tercer grupo que extiende los dos primeros bajo ciertas condiciones adicionales. El producto semidirecto de dos grupos se denota con el símbolo . Este producto no es único, pues depende de la elección de cierta función , por lo que en ocasiones se hace necesario usar el símbolo para evitar ambigüedades.

El producto semidirecto de dos grupos se caracteriza por tener dos copias isomorfas a los grupos de partida como subgrupos, los cuales además tienen intersección trivial. Además el primero de ellos es un subgrupo normal, lo cual no es en general cierto para el segundo; el orden de los dos grupos factores importa en el producto semidirecto.

Definición formalEditar

Sean   y   dos grupos cualesquiera, y sea   un homomorfismo de grupos. Este homomorfismo caracteriza una acción del grupo   sobre el grupo  , que viene dada por  . Se denomina producto semidirecto de   y   respecto de  , y se denota  , al grupo formado por todos los pares

 

bajo la operación definida por

 .

El producto semidirecto tiene las siguientes propiedades:[1]

  • El orden de   es  .
  • El subgrupo   es isomorfo a   y es normal en  .
  • El subgrupo   es isomorfo a  .
  • Estos dos subgrupos tienen intersección trivial:  , donde   es el neutro de  .

El producto directo de grupos es un caso particular del producto semidirecto. Se da precisamente cuando el homomorfismo   es trivial, es decir, cuando todo elemento   tiene por imagen la identidad de   (que es la función identidad de  ). En tal caso y solo en tal caso   para todo par de elementos  . Además, el subgrupo   es también normal en el producto directo. El recíproco también es cierto, es decir, si ambos   y   son normales en el producto entonces es un producto directo.[1]

Definiciones equivalentesEditar

Considérese un subgrupo   (no necesariamente normal) de un grupo  . Se dice que un subgrupo   es un complemento de   si se cumple cualquiera de las dos condiciones equivalentes:

  1.   y   (siendo e el elemento neutro de G).
  2.   existen elementos   únicos tales que  .

Sea ahora un subgrupo normal  ; se dice que   es un producto semidirecto de   y  , escrito como   si   tiene un complemento   en  . En tal caso se dice que G se parte sobre N o que G se descompone sobre N.[2]

No todo subgrupo normal tiene complemento, y si lo tiene, no tiene por qué ser necesariamente único. No obstante, todos los complementos de un subgrupo normal   son isomorfos entre sí, puesto que por los teoremas de isomorfía:

 .

Dado un subgrupo normal  , las siguientes proposiciones son equivalentes:[3]

  1.   es un producto semidirecto de   y  .
  2.   tiene un complemento  .
  3. Existe un subgrupo   tal que cada elemento   se puede expresar de forma única como  , donde   y  .
  4. Existe un homomorfismo   tal que  , donde   es la proyección natural.
  5. Existe un homomorfismo   tal que   y   para todo   (una aplicación que satisface estas condiciones se dice que es una retracción de  ).

Estas condiciones son útiles para determinar si un grupo es el producto semidirecto de dos de sus subgrupos. En cambio, la definición formal permite construir un producto semidirecto de dos grupos arbitrarios, no necesariamente subgrupos de un grupo común.

EjemplosEditar

  • El grupo lineal general  , donde   es un cuerpo de característica cero, es el producto semidirecto del grupo multiplicativo del cuerpo y el grupo lineal especial:[4]

 

  • El grupo diedral de un polígono de   lados es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos:  . El homomorfismo   queda totalmente descrito por la acción del elemento no nulo de  , que aquí invierte los elementos de   (la inversión es un automorfismo por ser   abeliano).

Presentación del producto semidirectoEditar

Se puede obtener una presentación del producto semidirecto a partir de las presentaciones de los grupos factores. Sean dos grupo   y  , y un homomorfismo  . Si las respectivas presentaciones de los grupos son   y  , donde   e   son los conjuntos de generadores (disjuntos), y   y   son los conjuntos de relaciones, una presentación para el producto semidirecto   tiene la forma:

 

donde el conjunto adicional de relaciones   está formado por las identidades

 .

En el caso particular del producto directo, los homomorfismos   son todos la identidad, luego las relaciones adicionales son de la forma

 ,

donde el símbolo   es el conmutador de x e y. En consecuencia, los generadores de un grupo conmutan con los generadores del otro.

El grupo holomorfoEditar

Dado un grupo  , existe una extensión natural dada en forma de producto semidirecto. Puesto que el producto es con un grupo factor   sobre el que se define un homomorfismo  , resulta natural tomar   con el homomorfismo identidad. Se define el holomorfo de  , denotado Hol(G), como el producto semidirecto[5]

 .

El grupo de automorfismos de   es un subgrupo del grupo simétrico de  , que contiene todas las biyecciones. En concreto, es posible identificar un subgrupo de este con el propio  , dado por la identificación con las funciones de multiplicación por la izquierda

 .

Entonces, considerados ambos como subgrupos, se tiene que  , y que   (el producto de subconjuntos).[6]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. a b Dummit y Foote, 2004, p. 176.
  2. Rotman, 1999, p. 167.
  3. Rotman, 1999, p. 168.
  4. Rotman, 1999, p. 222. Teorema 8.8
  5. Dummit\Foote, 2004, p. 179. Véase el ejemplo 5.
  6. Rotman, 1999, p. 164. Aquí se da ésta como definición del holomorfo.

BibliografíaEditar

  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5. 
  • Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª edición). Springer. 
  • Brown, R. (2006). Topology and groupoids. Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. 

Enlaces externosEditar