Abrir menú principal

Progresión armónica (matemática)

En las progresiones aritmética y geométrica hay variación entre dos términos consecutivos, pero en el caso de una progresión armónica se vinculan tres términos.

DefiniciónEditar

Dados tres números m, n, p se dice que están en razón armónica si  .[1]

Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos forman una razón armónica.

EjemplosEditar

  • 1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15, 1/18,...
  • Uno de los casos más interesantes es la sucesión armónica cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n,... donde n es un entero positivo.
la serie   es divergente cuando n tiene a infinito, aunque
el término general 1/n tiende a 0, cuando n tiende a infinito.[2]

ProposiciónEditar

Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica.

PruebaEditar

Se tiene  
de donde  
dividiendo cada término por mnp
  lo que demuestra la proposición.

Media armónicaEditar

Sean m y n dos números y H su media armónica, por lo demostrado
 
O sea
 
Finalmente
 
Propiedad

Si A, G, H son las medias aritmética, geométrica y armónica entonces la media geométrica es media proporcional entre la media aritmética y armónica.

Esto es   o bien  

La media armónica de m y n es  , que se puede escribir

 , o de otra manera   (α)

De otro lado   y   en (α) se tiene

  , de donde se obtiene  , con lo que se prueba la relación

Véase tambiénEditar

  • Progresión aritmética
  • Progresión geométrica

ReferenciasEditar

  1. Hall-Knight: álgebra superior, Uteha, México 1982
  2. Leithold: Cálculo con geometría analítica