Propiedades de los números enteros

El conjunto de los números enteros, provisto de las operaciones de adición y multiplicación forman lo que en álgebra abstracta se conoce como el sistema algebraico de anillo.[1]​{o}cN

Estructura de los números enterosEditar

Los enteros con la adición ,la multiplicación, la resta y la división forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto o conjunto entero de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción o una división cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación,   constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado,  , donde   es el orden usual sobre  , es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante   (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).yy

Construcción formal de los enteros a partir de los naturalesEditar

Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo  , de donde puede asociarse el número   con el par ordenado   de números naturales. Sin embargo, debido a que   y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado   al restar, no puede decirse simplemente que  . Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado   al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados   y   puedan ser asociados al mismo número entero si:

(1) .

El único problema es que la ecuación (1) no está definida en   cuando  . Pero esto se remedia fácilmente, al notar que

  equivale a  

Ciertamente   para cualesquiera  , de tal manera que puede definirse una relación   sobre   mediante:

  si y solo si  

La relación   es una relación de equivalencia que produce en   una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

 

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:

 

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

 

Luego el cero puede definirse como:

 

El escoger   y   (o   y   para cuando no se acepta  ), para las definiciones anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nótese que, de cualquier forma,

 

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

(2) 

de todas las clases de equivalencia producidas por la relación   sobre el producto cartesiano  . Esto es,   es el conjunto cociente:

(3) .

Definición de adición y multiplicación sobre números enterosEditar

Se define la adición ( ) sobre   como sigue:

  | info=para todo  

teniendo previamente definida la adición sobre  . La definición anterior no depende de los representantes   escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

 

La multiplicación ( ) sobre   se define como sigue:

  | info=para todo  

teniendo previamente definida la multiplicación sobre  . La definición anterior está correctamente definida debido a que:

 

PropiedadesEditar

  • En una recta se ubican a la derecha del cero.

Ej. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

  • En ℤ es posible resolver cualquier ecuación de la forma x + a = b
  • En Z hay una nueva operación ( operación binaria interna) la resta
  • Tiene la misma cardinalidad que los conjuntos y de los enteros gausianos y algo más, lo mismo que el conjunto de los números algebraicos y que tiene subordinación

ReferenciasEditar

  1. Lange: "Algebra"