Número racional gaussiano

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En matemáticas, los números racionales gaussianos, o simplemente racionales gaussianos, son los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números racionales. Forman el conjunto ℚ[i] de los números gaussianos, que tiene un subconjunto propio, llamado el conjunto ℤ[i] de los números gaussianos enteros. Los estudió por primera vez el matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Hay un cierto paraleismo algebraico entre los números racionales y los números gaussianos.

DefiniciónEditar

Se dice que el número complejo z es número gaussiano s.s.s.  , donde  

OperacionesEditar

AdiciónEditar

La adición de los números gaussianos cumple las siguientes propiedades:

  • Propiedad clausurativa: Si z y w son números gaussianos cualesquiera entonces la suma z+w es número gaussiano.
  • Propiedad asociativa: z+(w+v)=(z+w)+v
  • Elemento neutro: Existe un único número gaussiano, cero = 0= 0+0i tal que z+0=z para cualquier gaussiano z.
  • Inverso aditivo: Para todo número gauusiano z, existe único -z tal que z+(-z)=0
  • Propiedad conmutativa: z+w = w+z, para dos números gaussianos z y w cualesquiera
  • Diferencia: Sean z y w dos números gaussianos cualesquiera, al número z+(-w) se llama diferencia de z y w.

MultiplicaciónEditar

La multiplicación de los números gaussianos cumple las siguientes propiedades:

  • Propiedad clausurativa: Si z y w son números gaussianos cualesquiera entonces el producto   es número gaussiano.
  • Propiedad asociativa:  
  • Elemento neutro: Existe un único número gaussiano, uno = 0= 1+0i tal que   para cualquier gaussiano z.
  • Inverso multiplicativo: Para todo número gauusiano z ≠ 0, existe único -z-1, inverso multiplicativo tal que z·z-1=1
  • Propiedad conmutativa: z·w = w·z, para dos números gaussianos z y w cualesquiera
  • Cociente: Sean z y w ≠ 0, dos números gaussianos cualesquiera, al número z.w-1 se llama cociente de z y w.

Sistemas algebraicosEditar

  • Grupo abeliano: El conjunto ℚ[i] con la adición de números gaussianos es un grupo abeliano, que tiene un subgrupo propio: el conjunto Z[i] de los gaussianos enteros, los racionales enteros ℤ y los imaginarios enteros.
  • Cuerpo: El conjunto ℚ[i] con la adición y la multiplicación de números gaussianos es un cuerpo conmutativo [1]

NormaEditar

La norma del número gaussiano   es  , que es siempre un número racional positivo.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Belski & kalushnin: División inexacta, Editorial Mir Moscú (1977)