Reductio ad absurdum

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Reductio ad absurdum, expresión latina que significa literalmente 'reducción al absurdo', es uno de los métodos lógicos de demostración más usado en matemáticas para demostrar la validez (o invalidez) de proposiciones categóricas.

Falacias

Se parte por suponer como hipotética la veracidad o falsedad de la tesis de la proposición a demostrar y, mediante una concatenación de inferencias lógicas válidas, se pretende llegar a una contradicción lógica, un absurdo. De llegar a una contradicción, se concluye que la hipótesis de partida (que se había supuesto verdadera al principio) ha de ser falsa.

Para demostrar la invalidez de una proposición, se supone como punto de partida que la proposición es cierta. Si la derivación final es una contradicción, se concluye que la proposición original es falsa y el argumento es inválido.

A este método también se le conoce como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base es el cumplimiento del principio de exclusión de intermedios: una proposición que no puede ser falsa es necesariamente verdadera, y una proposición que no puede ser verdadera es necesariamente falsa.



Su uso en matemáticasEditar

La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento muy empleado en demostraciones matemáticas.

Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera, probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción, por lo cual sería verdadera.

Para obtener una prueba válida debe demostrarse que, dada una proposición  , «no  » implica una propiedad falsa en el sistema matemático utilizado. El peligro es la falacia lógica de la argumentación por ignorancia, mediante la cual se prueba que «no  » implica una propiedad   que parece falsa pero que realmente no se ha demostrado tal falsedad.

Un ejemplo clásico de esta falacia es la falsa demostración de un quinto postulado de Euclides a partir de los anteriores. Debido a que cuando se establecieron esas pruebas no existía otra Geometría que la euclidiana, parecían correctas. Tras la aparición de otras geometrías se demostró que el sistema era incorrecto. Para una explicación más profunda de estas falacias puede verse Mathematical Thought: from Ancient to Modern Times,[1]​ de Morris Kline.

Aunque en demostraciones matemáticas este método se utiliza con gran libertad, no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan la reducción al absurdo como universalmente válida. En escuelas como la del intuicionismo, la ley de exclusión de intermedios no se acepta como válida. Desde este punto de vista hay una diferencia muy significativa entre demostrar que mediante un ejemplo real de un «algo» que existe sería absurdo demostrar su no existencia.


Teoremas y demostracionesEditar

TEOREMA: RAÍZ DE 2 ES IRRACIONAL – DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:


Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:



Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituímos este valor de p en la expresión anteriory simplificamos un 2 de esa igualdad:


Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos. Conclusión: Raíz de 2 es irracional.


TEOREMA: RAÍZ DE 3 y 5 ES IRRACIONAL – DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO


Supongamos que√3 sea un número racional.

Entonces se lo puede expresar como el cociente entre dos enteros.

√3 = a/b, donde a y b son números primos entre si, es decir que no tienen factores comunes.

Elevamos al cuadrado. 3 = (a/b)²

Por lo tanto a² = 3 b²

Luego estamos contradiciendo el supuesto que a y b son primos entre sí. Si dos números son primos entre sí, sus cuadrados también.

Ejemplo: 4 y 5 son primos entre sí: luego 16 y 25 también lo son.

Lo mismo se hace con √5.

En consecuencia son números irracionales.

TEOREMA DE ROLLE Teorema de Rolle: si una función es continua y derivable en un intervalo y toma valores iguales en sus extremos, existe un punto donde la derivada primera se anula.


Si una función es:

Continua en [a, b]

Derivable en (a, b)

Y si f(a) = f(b)

Entonces, existe algún punto c ∈ (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.



Ejemplos 1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:


En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.



En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.



Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.


2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x²) en el intervalo [−2, 2]?

En primer lugar calculamos el dominio de la función.


La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en .

Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.



3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.

La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en ℛ·

f(−1) = −1

f(0) = 3

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).

Teorema de Rolle

f' (x) = 7x6 + 3

Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.

4. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?


La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.



5. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.

f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.

Además se cumple que:

f(−1) = f(0) = f(1) = 0

Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.



6.¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?

La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.

No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).


7. Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.

Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.

Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos que:

f(x1) = f(x2) = 0

Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c (x1, x2) tal que f' (c) = 0.

f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).

Pero f' (x) ≠ 0, no admite soluciones reales porque el discriminante es negativo:

Δ = 9 − 24 < 0.

Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.


8. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación x3 + 6x2 + 15x − 25 = 0?

La función f(x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es continua y derivable en ·

f(0) = −25

f(2) = 37

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 2).

Teorema de Rolle.

f' (x) = 3x2 + 12x +15

Dado que la derivada no se anula, ya que su discriminante es negativo, la función es estrictamente creciente y posee una única raíz.


6.Demostrar que la ecuación 2x3 − 6x + 1 = 0 una única solución real en el intervalo (0, 1).

La función f(x) = 2x3 − 6x + 1 es continua y derivable en ·

f(0) = 1

f(1) = −3

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 1).

Teorema de Rolle.

f' (x) = 6x2 - 6 6x2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0

La derivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no puede haber dos raíces en el intervalo (0, 1).

EjemplosEditar

No existe un número racional mínimo mayor que ceroEditar

Supongamos que se desea demostrar una proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica. Entonces P debería no ser falsa. Por lo tanto tiene que ser verdadera.

Por ejemplo considérese la proposición «no existe un número racional mínimo mayor que cero». En una reducción al absurdo se comenzaría por asumir lo contrario y nuestra tesis sería: existe un número racional mínimo mayor que cero: r0.

Ahora tomemos x = r0/2. Por lo tanto x es un número racional mayor que cero, y x<r0. Eso es un absurdo, pues contradice la hipótesis de partida de que r0 era el número racional mínimo. Por lo tanto se debe concluir que la proposición asumida como cierta: «hay un número racional mínimo mayor que cero» es falsa.

No es inusual utilizar este tipo de razonamientos con proposiciones como la enunciada, acerca de la inexistencia de cierto elemento matemático. Se supone que ese elemento existe y se prueba que eso conduce a una contradicción. Por lo tanto ese objeto no existe.

¿Hay infinitos números primos?Editar

Existen numerosas demostraciones sobre que existen infinitos números primos, la primera de la que se tiene constancia es de Euclides, donde queda demostrado mediante Reductio ad absurdum en la Proposición 20 del libro IX de Elementos (Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos).

Partiendo de suponer que lo cierto es lo contrario, por lo cual nuestra tesis quedaría: «Los números primos son finitos», entonces tenemos   números primos que serían   .

Entonces se toma ahora el siguiente número:

 

Tenemos que   es el producto de todos los números primos más 1, y    no es un número primo, pues no se encuentra en la lista anterior, entonces por definición    es un número compuesto y debe ser divisible por algún número primo.

Si hacemos la división entre cualquier número primo de la lista  , nos sale resto 1, por lo cual debe existir al menos otro número primo que no se encuentra en esa lista.

Entonces llegamos a una contradicción de nuestra tesis «Los números primos son finitos» que es falsa, por lo cual existen infinitos números primos.

La raíz cuadrada de 2 es irracionalEditar

Un ejemplo es la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. La afirmación inicial (nuestra tesis) es la contraria:, es decir, que: «la raíz cuadrada de 2 es un número racional»

Al ser un número racional, vamos a expresarlo como  , entonces quedaría:

 ,   (donde p y q son números enteros, q es distinto de 0).
Sin pérdida de generalidad se puede suponer que p y q son positivos (si los dos fueran negativos bastaría multiplicarlos por -1), y que son primos entre sí, es decir no comparten factor común alguno (Ya que si hubiera factores comunes, los podemos simplificar y quedarnos con la fracción irreducible resultante).

Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado:

 

Multiplicando en ambos lados por   se tiene:

 

La expresión   es un número par,por lo que   también es par (de no serlo,   no sería par, y no se podría cumplir la igualdad).

Sea  , donde   es un número entero. Sustituyendo la expresión quedaría:

 

Podemos simplificar dividiendo entre dos en ambas partes y obtener que:

 

Por el mismo razonamiento de antes donde,   es un número par, así es que   también es par, y   así mismo es par.

Como   y   son pares, tienen al menos un factor común, el  . Esto entra en contradicción con la suposición anterior, de que los números   y   no tenían factores en común. Como esta elección de   y   se hizo sin pérdida de generalidad y el razonamiento posterior es correcto, implica que la premisa inicial de que   era racional es falsa.
Luego   es irracional. Q.E.D.

LógicaEditar

En lógica simbólica la reducción al absurdo se expresa así:

Si
 
entonces
 

En esta representación, P es la proposición por demostrar, y S es una serie de proposiciones previas tomadas como ciertas. Por ejemplo los axiomas de la teoría en la que se ha trabajado o los teoremas anteriores ya demostrados. Considérese la negación de P en conjunto con S. Si esto lleva a una contradicción F se puede concluir que S conduce necesariamente a P.

En palabras de G. H. Hardy: «La reducción al absurdo, que Euclides tanto amaba, es una de las mejores armas de la Matemática. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida».

Véase tambiénEditar

Su uso en el ámbito jurídicoEditar

El argumento por reducción al absurdo, tal como se emplea en el razonamiento jurídico, fundamenta una tesis mostrando que su negación u otras alternativas con- ducen lógicamente a un resultado imposible o de otro modo inaceptable, y en último término a la contradicción de negar lo que a la vez se acepta explícita o implícitamente como premisa. Se trata de una aplicación peculiar de una conocida forma de demos- tración lógica y matemática, pues en el ámbito jurídico no sólo se emplea como prueba deductiva, sino también como instrumento retórico o dialéctico para defender la tesis considerada más idónea o razonable. El argumento por reducción al absurdo puede entenderse de varias maneras: a) En su sentido más estricto o fuerte, el lógico y matemático, el argumento de- muestra una tesis probando que, dadas ciertas premisas, de la hipótesis que la niega se deduce una contradicción, con lo cual negar la tesis es una imposibilidad lógica. Por tanto es una prueba por contradicción e indirecta, y así se denomina también en ocasiones este argumento.

b) En un sentido algo menos estricto, el argumento consiste en rechazar una hi- pótesis (para defender otra alternativa) mostrando que tiene como consecuencia lógica una falsedad o imposibilidad fáctica; o algo que se tiene generalmente por falso. Aquí cabe una subdivisión, y así resCHer (2005) distingue entre consecuencia falsa (argu- mentos ad falsum o ad impossibile) e implausible o anómala (argumentos ad ridiculum o ad incommodum). c) En un sentido todavía más amplio, el argumento rechaza una hipótesis (para defender otra alternativa) mostrando que tiene una consecuencia lógica inadmisible o inaceptable por ser incoherente con el sistema de referencia. Con esto el argumento puede tomar un cariz axiológico o teleológico 3. El nombre de argumento ab absurdo, usado a veces, se corresponde mejor con esta versión menos rigurosa, que puede de- generar fácilmente en falacia. Pero conviene distinguir entre la reducción al absurdo y otros argumentos diferentes basados en las consecuencias. La reducción al absur- do se fija en las implicaciones lógicas de una hipótesis, mientras que la argumenta- ción consecuencialista atiende a los efectos que probablemente causará su puesta en práctica. Además, los argumentos consecuencialistas pueden orientarse a evitar resultados simplemente indeseables o inconvenientes; mientras que la reducción al absurdo más bien trata de denunciar la incongruencia.

Notas y referenciasEditar

https://brainly.lat/tarea/768749

https://www.gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/47429/1/Doxa_35_05.pdf