Regla 30

La Regla 30 es un autómata celular binario unidimensional presentado por Stephen Wolfram en 1983.[2]​ Wolfram la describió como su "regla favorita de todos los tiempos"[3]​ y da detalles en su libro 'A New Kind of Science'. Según el esquema de clasificación de Wolfram, la regla 30 es una regla de Clase III, que muestra un comportamiento aperiódico y caótico.

Una concha de Conus textile similar en apariencia a la Regla 30.[1]

Esta regla es de particular interés porque genera patrones complejos aparentemente aleatorios a partir de reglas simples y bien definidas. Por este motivo, Wolfram creía que la Regla 30 y los autómatas celulares en general, son la clave por entender de que forma las reglas simples pueden generar estructuras y comportamientos complejos en la naturaleza. Por ejemplo, un patrón similar al generado por la Regla 30 aparece en la concha de los caracoles marinos de la especie Conus textile. La Regla 30 también se ha usado para generar nombres aleatorios en el programa Mathematica del propio Wolfram, y en criptografía.[4]

La Regla 30 se denomina así porque 30 es el código Wolfram más pequeño que describe su conjunto de reglas. La imagen especular, el complemento y el complemento especular de la Regla 30 tienen códigos Wolfram 86, 135 y 149 respectivamente.


Conjunto de reglasEditar

En todos los autómatas celulares elementales de Wolfram, se considera una matriz unidimensional infinita de células autómatas celulares con sólo dos estados, con cada célula en algún estado inicial. A intervalos de tiempo discretos, cada celda cambia de estado espontáneamente en función de su estado actual y el estado de sus dos vecinas. Para la Regla 30, el conjunto de reglas que gobierna el siguiente estado del autómata es:

Patrón actual 111 110 101 100 011 010 001 000
Nuevo estado para celda central 0 0 0 1 1 1 1 0

La fórmula correspondiente es [celda_izquierda XOR (celda_central O celda_derecha)]. Se llama Regla 30 porque en binario, 000111102 = 30.

El siguiente diagrama muestra el patrón creado, con celdas coloreadas según el estado anterior de su vecindario. Los colores más oscuros representan "1" y los colores más claros representan "0". El tiempo aumenta por el eje vertical:

Estructura y propiedadesEditar

El siguiente patrón surge de un estado inicial en el que una sola celda con el estado 1 (que se muestra en negro) está rodeada por celdas con el estado 0 (blanco):

 
Autómata celular regla 30

Aquí, el eje vertical representa el tiempo y cualquier sección transversal horizontal de la imagen representa el estado de todas las celdas de la matriz en un punto específico de la evolución del patrón. Varios motivos están presentes en esta estructura, como la frecuente aparición de triángulos blancos y un patrón de rayas bien definido en el lado izquierdo; sin embargo, la estructura en su conjunto no tiene un patrón discernible. El número de células negras en la generación   viene dada por la secuencia

1, 3, 3, 6, 4, 9, 5, 12, 7, 12, 11, 14, 12, 19, 13, 22, 15, 19, ... (sucesión A070952 en OEIS)

y es aproximadamente  .

CaosEditar

Wolfram basó su clasificación de la Regla 30 como caótica basándose principalmente en su apariencia visual,[cita requerida] y más tarde se demostró que cumplía con definiciones más rigurosas de caos propuestas por Robert L. Devaney y Knudson. En particular, de acuerdo con los criterios de Devaney, la Regla 30 muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales (dos configuraciones iniciales que difieren solo en un pequeño número de celdas divergen rápidamente), sus configuraciones periódicas son densas en el espacio de todas las configuraciones, según la topología de Cantor en el espacio de configuraciones (hay una configuración periódica con cualquier patrón finito de células), y se mezcla (para dos patrones finitos de celdas cualesquiera, hay una configuración que contiene un patrón que eventualmente conduce a una configuración que contiene el otro patrón). Según los criterios de Knudson, muestra una dependencia sensible y hay una órbita densa (una configuración inicial que eventualmente muestra cualquier patrón finito de células). Ambas caracterizaciones del comportamiento caótico de la regla se derivan de una propiedad más simple y fácil de verificar de la Regla 30: se deja permutativa, lo que significa que si dos configuraciones C y D difieren en el estado de una sola celda en la posición i, luego de un solo paso, las nuevas configuraciones diferirán en la celda i + 1.[5]

AplicacionesEditar

Generación de números aleatoriosEditar

Como se desprende de la imagen de arriba, la Regla 30 genera una aparente aleatoriedad a pesar de la falta de cualquier cosa que pueda considerarse razonablemente como entrada aleatoria. Stephen Wolfram propuso usar su columna central como un generador de números pseudoaleatorios (PRNG); pasa muchas pruebas estándar de aleatoriedad, y Wolfram usó previamente esta regla en el producto de Mathematica para crear números enteros aleatorios.[6]

Sipper y Tomassini han demostrado que, como generador de números aleatorios, la Regla 30 presenta un comportamiento deficiente en una prueba de chi cuadrado cuando se aplica a todas las columnas de la regla en comparación con otros generadores celulares basados ​​en autómatas.[7]​ Los autores también expresaron su preocupación de que "los resultados relativamente bajos obtenidos por la regla 30 CA pueden deberse al hecho de que consideramos N secuencias aleatorias generadas en paralelo, en lugar de la única considerada por Wolfram".[8]

DecoraciónEditar

 
Detalle del revestimiento de la estación de tren de Cambridge North

La estación de tren de Cambridge North está decorada con paneles arquitectónicos que muestran la evolución de la Regla 30 (o, de manera equivalente, bajo la inversión de blanco y negro, Regla 135).[9]​ El arquitecto describió el diseño como inspirado en el Juego de la vida de Conway, un autómata celular diferente estudiado por el matemático de Cambridge John Horton Conway, pero en realidad no se basa en éste.[10][11]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Stephen Coombes (Febrero de 2009). «The Geometry and Pigmentation of Seashells». www.maths.nottingham.ac.uk. University of Nottingham. 
  2. Wolfram, S. (1983). «Statistical mechanics of cellular automata». Rev. Mod. Phys. 55: 601-644. doi:10.1103/RevModPhys.55.601. 
  3. Donde Starting a Long-Term Company, S. Wolfram, 2005.
  4. Wolfram, S. (1985). «Cryptography with cellular automata». Proceedings of Advances in Cryptology - CRYPTO '85. Lecture Notes in Computer Science 218, Springer-Verlag. p. 429.  Véase también Meier, Willi; Staffelbach, Othmar (1991). «Analysis of pseudo random sequences generated by cellular automata». Advances in Cryptology: Proc. Workshop donde the Theory and Application of Cryptographic Techniques, EUROCRYPT '91. Lecture Notes in Computer Science 547, Springer-Verlag. p. 186. 
  5. Cattaneo, Gianpiero; Finelli, Michele; Margara, Luciano (2000). «Investigating topological chaos by elementary cellular automata dynamics». Theoretical Computer Science 244 (1–2): 219-241. MR 1774395. doi:10.1016/S0304-3975(98)00345-4. 
  6. Lex Fridman (2 de marzo de 2018), MIT AGI: Computational Universe (Stephen Wolfram), consultado el 7 de marzo de 2018 .
  7. Sipper, Moshe; Tomassini, Marco (1996). «Generating parallel random number generators by cellular programming». International Journal of Modern Physics C 7 (2): 181-190. Bibcode:1996IJMPC...7..181S. doi:10.1142/S012918319600017X. 
  8. Page 6 of Sipper, Moshe; Tomassini, Marco (1996). «Generating parallel random number generators by cellular programming». International Journal of Modern Physics C 7 (2): 181-190. Bibcode:1996IJMPC...7..181S. doi:10.1142/S012918319600017X. 
  9. Wolfram, Stephen (June 1, 2017), «Oh My Gosh, It's Covered in Rule 30s!», Stephen Wolfram's blog .
  10. Lawson-Perfect, Christian (23 de mayo de 2017), «Right answer for the wrong reason: cellular automaton on the new Cambridge North station», The Aperiodical .
  11. Purtill, Corinne. «A UK train station's tribute to a famous mathematician got everything right except his math». Quartz (en inglés estadounidense). Consultado el 12 de junio de 2017. 

Enlaces externosEditar

En inglés: