Relación de congruencia

relación de equivalencia en álgebe

En álgebra abstracta, una relación de congruencia (o simplemente congruencia) es una relación de equivalencia definida sobre una estructura algebraica (como un grupo, anillo o espacio vectorial) que es compatible con la estructura en el sentido de que las operaciones algebraicas realizadas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes.[1]​ Cada relación de congruencia tiene una estructura de cociente correspondiente, cuyos elementos son las clases de equivalencia (o clases de congruencia) para la relación.[2]

Ejemplo básicoEditar

El ejemplo prototípico de una relación de congruencia es el módulo de congruencia   en el conjunto de losnúmeros enteros. Para un número entero positivo dado   , otros dos enteros   y   se llaman congruentes de módulo  , escrito

 

si   es divisible por   (o equivalentemente, si   y   tienen el mismo resto cuando se dividen por  ).

Por ejemplo,   y   son congruentes módulo   ,

 

ya que   es un múltiplo de 10, o equivalentemente, ya que tanto   como   tienen un resto de   cuando se dividen por   .

El módulo de congruencia   (para un   fijo) es compatible tanto con la suma como con la multiplicación entre enteros. Es decir,

si

  y  

luego

  y  

La correspondiente suma y multiplicación de clases de equivalencia se conoce como aritmética modular. Desde el punto de vista del álgebra abstracta, el módulo de congruencia   es una relación de congruencia en el anillo de los números enteros y el módulo aritmético   severifica en el anillo cociente correspondiente.

DefiniciónEditar

La definición de una congruencia depende del tipo de estructura algebraica en consideración. Se pueden hacer definiciones particulares de congruencia para grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos, semigrupos o retículos. El tema común es que una congruencia es una relación de equivalencia en un objeto algebraico que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones están bien definidas en las clases de equivalencia.

Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consiste en un conjunto junto con una sola operación binaria, que satisface ciertos axiomas. Si   es un grupo con la operación  , una relación de congruencia en   es una relación de equivalencia   entre los elementos de   satisfaciendo que

  y  

para todo  ,  ,  ,  . Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento identidad es siempre un subgrupo normal, y las otras clases de equivalencia son las clases laterales de este subgrupo. Juntas, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo cociente.

Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, se requiere que las relaciones de congruencia sean compatibles con cada operación. Por ejemplo, un anillo posee suma y multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo debe satisfacer

 

cuando   . Para una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene 0 es siempre un ideal de dos lados, y las dos operaciones en el conjunto de clases de equivalencia definen el anillo cociente correspondiente.

La noción general de una relación de congruencia puede tener una definición formal en el contexto del álgebra universal, un campo que estudia ideas comunes a todas las estructuras algebraicas. En este contexto, una relación de congruencia es una relación de equivalencia   en una estructura algebraica que satisface

 

para cada operación  -aria   y todos los elementos   tales que   para cada  

Relación con los homomorfismosEditar

Si   es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas (como el homomorfismo de grupos o una aplicación lineal entre espacios vectoriales), entonces la relación   definida por

  si y solo si  

Es una relación de congruencia. Según el primer teorema del isomorfismo, la imagen de A bajo   es una subestructura de B isomorfa al cociente de A por esta congruencia.

Congruencias de grupos y subgrupos e ideales normalesEditar

En el caso particular de los grupos, las relaciones de congruencia pueden describirse en términos elementales de la siguiente manera: si G es un grupo (con elemento de identidad e y operación *) y ~ es una relación binaria en G, entonces ~ es una congruencia siempre que:

  1. Dado cualquier elemento a de G, a ~ a (reflexividad);
  2. Teniendo en cuenta todos los elementos a y b de G, si a ~ b, entonces b ~ a (simetría);
  3. Teniendo en cuenta todos los elementos a, b, y c de G, si a ~ b y b ~ c, entonces a ~ c (transitividad);
  4. Dados los elementos a, a', b y b' de G, si a ~ a ' y b ~ b', entonces a * b ~ a' * b' ;
  5. Dados los elementos a y a' de G, si a ~ a', entonces a−1 ~ a' −1 (esto puede demostrarse a partir de las otras cuatro propiedades, por lo que es estrictamente hablando redundante).

Las condiciones 1, 2 y 3 dicen que ~ es una relación de equivalencia.

Una congruencia ~ está determinada completamente por el conjunto {aG : a ~ e} de aquellos elementos de G que son congruentes con el elemento identidad, y este conjunto es un subgrupo normal. Específicamente, a ~ b si y solo si b−1 * a ~ e . Entonces, en lugar de hablar de congruencias sobre grupos, generalmente se habla en términos de subgrupos normales; de hecho, cada congruencia corresponde únicamente a algún subgrupo normal de G.

Ideales de anillos y el caso generalEditar

Un truco similar permite hablar de los núcleos en la teoría de los anillos como ideales en lugar de relaciones de congruencia, y en la teoría de módulos como submódulos en lugar de relaciones de congruencia.

Una situación más general en la que este truco es posible es con los grupos omega (en el sentido general, permitiendo operadores con múltipleariedad). Pero esto no se puede hacer con, por ejemplo, monoides, por lo que el estudio de las relaciones de congruencia juega un papel más central en la teoría de monoides.

Álgebra universalEditar

La idea se generaliza en el álgebra universal: una relación de congruencia en un álgebra A es un subconjunto del producto directo A × A que es una relación de equivalencia en A y un subalgebra de A×A.

El núcleo de un homomorfismo es siempre una congruencia. De hecho, cada congruencia surge como un núcleo. Para una congruencia dada ~ en A, al conjunto A/~ de clases de equivalencia se le puede dar la estructura de un álgebra de forma natural, el álgebra cociente. La función que asigna cada elemento de A a su clase de equivalencia es un homomorfismo, y el núcleo de este homomorfismo es ~.

La retícula Con(A) de todas las relaciones de congruencia en un álgebra A es algebraica.

John M. Howie describió cómo la teoría del semigrupo ilustra las relaciones de congruencia en el álgebra universal:

En un grupo, se determina una congruencia si se conoce una sola clase de congruencia, en particular si se conoce el subgrupo normal que es la clase que contiene la identidad. De manera similar, en un anillo se determina una congruencia si se conoce el ideal, que es la clase de congruencia que contiene el cero. En los semigrupos no existe un hecho tan afortunado y, por lo tanto, nos enfrentamos a la necesidad de estudiar congruencias como tales. Más que cualquier otra cosa, es esta necesidad la que le da a la teoría del semigrupo su aspecto característico. Los semigrupos son, de hecho, el primer y más simple tipo de álgebra a la que se deben aplicar los métodos de álgebra universal...[3]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Hungerford, Thomas W.. Algebra. Springer-Verlag, 1974, p. 27
  2. Hungerford, 1974, p. 26
  3. J. M. Howie (1975) An Introduction to Semigroup Theory, page v, Academic Press

BibliografíaEditar

  • Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (La Sección 4.5 discute la congruencia de las matrices)
  • Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.  Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.  Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.