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Una relación de orden o más conocida como "Orden en R" es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir, que ayuda a la creación del orden del mismo.

Índice

DefiniciónEditar

Sea   un conjunto dado no vacío y   una relación binaria definida en  , entonces se dice que   es una relación de orden[1]

  1. Reflexiva: Todo elemento de   está relacionado consigo mismo. Es decir,  .
  2. Antisimétrica: Si dos elementos de   se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,  
  3. Transitiva: Si un elemento de   está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,  

Una relación de orden   sobre un conjunto   puede denotarse con el par ordenado  .

Relación de orden amplio

En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.[2]​ La inclusión no es una relación de orden total.

Relación de orden totalEditar

Sea   un conjunto dado,   es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de   se relacionan entre sí, es decir,

 .

  • Ejemplo   es totalmente ordenado. En efecto, es:
    • Reflexivo:   entonces   (porque por definición,  )
    • Antisimétrico:   si   y   entonces    
    • Transitivo:   si   y   entonces  
    • Orden total, pues

Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b ó b ≤ a.[3]

Contraejemplo, (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues
5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h.[4]

Relación de orden parcialEditar

Sea   un conjunto dado,   es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de   se relacionan entre sí, es decir,

  tal que  .

  • Ejemplo. Sea el conjunto   y el conjunto potencia de  , definido por:
 

Entonces   es parcialmente ordenado, pues sean

 
  pero  

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densaEditar

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (xy y xy), existe otro z en X tal que x < z < y.

  • Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos que q3:= (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q3 < q2.
  • Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier real t existen los enteros k y k+1, tal que k ≤ t < k+1.[5]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. BIRKHOFF (1948), p. 1.
  2. Rojas: Álgebra I
  3. Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91
  4. Rojas, Op. cit
  5. Esta propiedad permite definir la función máximo entero

BibliografíaEditar

  • Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society. 
  • Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3. 
  • Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2. 
  • Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1.