Serie de Dirichlet

serie matemática

En matemáticas, una serie de Dirichlet es toda serie del tipo

donde s y an para n = 1, 2, 3, ... son números complejos.

Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números. La definición más popularizada de la función zeta de Riemann es una serie Dirichlet, tal como son las funciones L de Dirichlet. Se conjetura que las series de clase tipo Selberg satisfacen la hipótesis generalizada de Riemann. La serie ha sido nombrada en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definición formalEditar

Una serie de Dirichlet[1][2]​ es toda serie del tipo

 

donde   es una sucesión de números complejos,   es un número complejo y   es una sucesión real, creciente y divergente. Algunos autores exigen que la sucesión   sea además de términos positivos. Dicha exigencia se cumple en nuestra definición excepto para una cantidad finita de términos.

Cuando   se obtiene la serie ordinaria de Dirichlet:

 

EjemplosEditar

La serie de Dirichlet más famosa es

 

que es la función zeta de Riemann. Otra serie de Dirichlet es:

 

donde μ(n) es la función de Möbius. Es posible obtener esta y varias de las series indicadas a continuación realizando una inversión de Möbius y una convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet   se tiene que

 

donde   es una función L de Dirichlet.

Otras identidades incluyen

 

donde φ(n) es la función indicatriz de Euler

 
 

donde σa(n) es la función divisor. Otras identidades que involucran a la función divisor d0 son

 
 

El logaritmo de la función zeta está dado por

 

para  . Aquí,   es la función de von Mangoldt. La derivada logarítmica es por lo tanto

 

Estos últimos dos son casos especiales de una relación más generalizada para las derivadas de la serie de Dirichlet, indicadas a continuación.

Dada la función de Liouville  , se tiene que

 

Otro ejemplo, en cambio se relaciona con la suma de Ramanujan:

 

DerivadasEditar

Dado

 

para una función completamente multiplicativa  , y asumiendo que la serie converge para  , entonces se tiene que

 

converge para  . Siendo,   la función de von Mangoldt.

ProductosEditar

Sea   y

 

Si tanto F(s) y G(s) son absolutamente convergentes para s> a y s > b entonces se tiene que:

  dado que  

para a=b y f(n)=g(n) se obtiene:

  as  

Transformadas integralesEditar

La Transformada de Mellin de una Serie de Dirichlet está dada por la fórmula de Perron.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Serre, Jean-Pierre. A Course in Arithmetic. Springer Verlag. ISBN 0-387-90040-3. 
  2. «PlanetMath». 

BibliografíaEditar