Serie de Dirichlet
En matemáticas, una serie de Dirichlet es toda serie del tipo
donde s y an para n = 1, 2, 3, ... son números complejos.
Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números. La definición más popularizada de la función zeta de Riemann es una serie Dirichlet, tal como son las funciones L de Dirichlet. Se conjetura que las series de clase tipo Selberg satisfacen la hipótesis generalizada de Riemann. La serie ha sido nombrada en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Definición formal
editarUna serie de Dirichlet[1][2] es toda serie del tipo
donde es una sucesión de números complejos, es un número complejo y es una sucesión real, creciente y divergente. Algunos autores exigen que la sucesión sea además de términos positivos. Dicha exigencia se cumple en nuestra definición excepto para una cantidad finita de términos.
Cuando se obtiene la serie ordinaria de Dirichlet:
Ejemplos
editarLa serie de Dirichlet más famosa es
que es la función zeta de Riemann. Otra serie de Dirichlet es:
donde μ(n) es la función de Möbius. Es posible obtener esta y varias de las series indicadas a continuación realizando una inversión de Möbius y una convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet se tiene que
donde es una función L de Dirichlet.
Otras identidades incluyen
donde φ(n) es la función indicatriz de Euler
donde σa(n) es la función divisor. Otras identidades que involucran a la función divisor d=σ0 son
El logaritmo de la función zeta está dado por
para . Aquí, es la función de von Mangoldt. La derivada logarítmica es por lo tanto
Estos últimos dos son casos especiales de una relación más generalizada para las derivadas de la serie de Dirichlet, indicadas a continuación.
Dada la función de Liouville , se tiene que
Otro ejemplo, en cambio se relaciona con la suma de Ramanujan:
Derivadas
editarDado
para una función completamente multiplicativa , y asumiendo que la serie converge para , entonces se tiene que
converge para . Siendo, la función de von Mangoldt.
Productos
editarSea y
Si tanto F(s) y G(s) son absolutamente convergentes para s> a y s > b entonces se tiene que:
dado que
para a=b y f(n)=g(n) se obtiene:
as
Transformadas integrales
editarLa Transformada de Mellin de una Serie de Dirichlet está dada por la fórmula de Perron.
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Serre, Jean-Pierre. A Course in Arithmetic. Springer Verlag. ISBN 0-387-90040-3.
- ↑ «PlanetMath».
Bibliografía
editar- Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
- G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
- The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections