Serie de potencias

En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\ldots$

alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes $a_{n}$ son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida.

En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots .$

Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.

Convergencia de series de potencias​

Sea :$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ serie de potencias, obtenemos su representación como una serie de potencias convergente estableciendo el Teorema de Taylor, el cual nos dice que si $f$ es analítica en un disco abierto centrado en $z_{0}$ entonces la serie de Taylor de $f$ , $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(f^{n})(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n};$ converge en el disco y es igual a $f(z)$ en todo ese disco.

Teorema de convergencia de series de potencias

Sea:$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ una serie de potencias. Existe un único número $R\geq 0$, quizá mayor a infinito $\infty$; llamado el radio de convergencia, tal que si $\left|z-z_{0}\right|<R$ , la serie converge y si $\left|z-z_{0}\right|>R$, la serie diverge. Específicamente la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en $A=\{{z\in C:\left|z-z_{o}\right|<R}\}$. No podemos generalizar la convergencia si $\left|z-z_{0}\right|=R$.

Demostración:

Siendo $R=sup\{r\geq 0\mid \sum _{n=0}^{\infty }\mid a_{n}\mid r^{n}converge\}$, donde sup es la cota superior más chica de ese conjunto de números reales.

Para continuar con la demostración auxiliándonos del Lema de Abel-Weierstrass donde suponiendo que $r_{0}\geq 0$ y que $\mid a_{n}\mid r_{0}^{n}\leq M$ para toda n, donde M es una constante. Para $r<r_{0},\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado $A_{r}=\{z:\mid z-z_{0}\mid \leq r\}$. Su demostración menciona lo siguiente: para $z\in A_{r}$ tenemos, $|a_{n}(z-z_{0})^{n}|\leq |a_{n}|r^{n}\leq M({\frac {r}{r_{0}}})^{n}$. Sea $M_{n}=M({\frac {r}{r_{0}}})^{n}$ ya que $r/r_{0}<1,\sum M_{n}$ converge. Gracias al criterio de M de Weierstrass la serie converge uniforme y absolutamente en $A_{r}$.

Primera parte del teorema de convergencia de series de potencias, demostración.

Sea $r_{0}<R$. Por la definición de R, existe una $r_{1}$ con $r_{0}<r_{1}\leq R$ tal que $\sum |a_{n}|r_{1}^{n}$ converge. Por lo tanto,$\sum |a_{n}|r_{1}^{n}$ converge, gracias al criterio de comparación. Los términos $|a_{n}|r_{0}^{n}$ están acotados (a cero) y, por tanto, por el lema

de Abel-Weierstrass, la serie converge uniforme y absolutamente en $A_{r}$ para cualquier $r<r_{0}$. Puesto que cualquier $z$ con$|z-z_{0}|<R$ está en alguna $A_{r}$ y viendo que

siempre podemos escoger $r_{0}$ tal que $r<r_{0}\leq R$, tenemos la convergencia en $z$.

Supongamos ahora que $|z_{1}-z_{0}|>R$ y $\sum a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}$ converge. Deduciendo una contradicción. Los términos $a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}$están acotados en valor absoluto porque se aproximan al O. Así, por el lema de Abel-Weierstrass, si $R<r<|z_{1}-z_{0}|$, entonces $a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}$ converge absolutamente si$z_{1}\in A_{r}$. Por lo tanto. $\sum |a_{n}|r^{n}$converge. Esto significa, por la definición de $R$, que $R<R$.

Hemos demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado $A_{r}$ estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A.

Ejemplos

La función exponencial (en azul), y la suma de sus primeros n+1 términos de su serie de Maclaurin (en rojo).

La serie geométrica

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-x}},$

es una serie de potencias, absolutamente convergente si $|x|<1$ y divergente si $|x|>1$ o $|x|=1$ y es uno de los ejemplos más importantes de este tipo de series, como también lo son la fórmula de la función exponencial

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

y la fórmula del seno

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

válidas para todos los reales x. Estas series de potencias son ejemplos de series de Taylor.

Véase también

• Serie (matemáticas)
• Serie formal de potencias
• Serie de Laurent
• Convergencia
• Radio de convergencia
• Fórmula de Euler-Maclaurin
• Anexo:Series matemáticas

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Power Series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q206925
• Multimedia: Power series / Q206925