Serie de potencias

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En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:

alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida.

En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple

Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.

Convergencia de series de potencias[1]Editar

Sea :  serie de potencias, obtenemos su representación como una serie de potencias convergente estableciendo el Teorema de Taylor, el cual nos dice que si   es analítica en un disco abierto centrado en   entonces la serie de Taylor de   ,   converge en el disco y es igual a   en todo ese disco.

Teorema de convergencia de series de potencias

Sea:  una serie de potencias. Existe un único número  , quizá mayor a infinito  ; llamado el radio de convergencia, tal que si   , la serie converge y si  , la serie diverge. Específicamente la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en  . No podemos generalizar la convergencia si  .

Demostración:

Siendo  , donde sup es la cota superior más chica de ese conjunto de números reales.

Para continuar con la demostración auxiliándonos del Lema de Abel-Weierstrass donde suponiendo que   y que   para toda n, donde M es una constante. Para   converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado  . Su demostración menciona lo siguiente: para   tenemos,  . Sea   ya que   converge. Gracias al criterio de M de Weierstrass la serie converge uniforme y absolutamente en  .

Primera parte del teorema de convergencia de series de potencias, demostración.Editar

Sea  . Por la definición de R, existe una   con   tal que   converge. Por lo tanto,  converge, gracias al criterio de comparación. Los términos   están acotados (a cero) y, por tanto, por el lema

de Abel-Weierstrass, la serie converge uniforme y absolutamente en   para cualquier  . Puesto que cualquier   con  está en alguna   y viendo que

siempre podemos escoger   tal que  , tenemos la convergencia en  .

Supongamos ahora que   y   converge. Deduciendo una contradicción. Los términos  están acotados en valor absoluto porque se aproximan al O. Así, por el lema de Abel-Weierstrass, si  , entonces   converge absolutamente si . Por lo tanto.  converge. Esto significa, por la definición de  , que  .

Hemos demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado   estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A.

EjemplosEditar

 
La función exponencial (en azul), y la suma de sus primeros n+1 términos de su serie de Maclaurin (en rojo).

La serie geométrica

 

es una serie de potencias, absolutamente convergente si   y divergente si   o   y es uno de los ejemplos más importantes de este tipo de series, como también lo son la fórmula de la función exponencial

 

y la fórmula del seno

 

válidas para todos los reales x. Estas series de potencias son ejemplos de series de Taylor.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

Enlaces externosEditar