Singularidad matemática

Explicado de forma muy simplificada, en matemáticas se habla de singularidad en una situación en la que las reglas, por así decirlo, fallan. Una función bien definida da un resultado que no tiene sentido. Es fácil verlo en algo tan básico como la división entre un número racional. Si dividimos una cantidad entre un número muy pequeño, el resultado obviamente es muy grande: 10 dividido entre 0.005 da 2.000, 10 dividido entre una millonésima, es decir, 10 / 0.000001 da 10.000.000, es decir, 10 millones, y si dividimos 10 entre una milmillonésima el resultado es un uno seguido de 10 ceros. Nada preocupante; las divisiones siempre se pueden comprobar con una multiplicación: sabemos que 40 dividido entre 5 da 8 ( 40 / 5 = 8) porque 8 x 5 = 40. Pero ¿qué ocurre si queremos dividir un número entre cero? No hay problema en sumar cero: 40 + 0 = 40, ni en multiplicar por cero: 40 x 0 = 0. Sin embargo el resultado de dividir 40 entre cero no está nada claro. 40 / 0 = . . . . El resultado correcto sería un número que multiplicado por 0 diera cuarenta, Y ese número evidentemente no existe, pues cualquier cantidad multiplicada por cero da cero. O sea, que esa operación tan sencilla no tiene resultado. Las matemáticas nos fallan. Y algo semejante, pero a escala mucho mayor, ocurre en física con ecuaciones muchísimo más complicadas, pero importantes porque se aplican a la cosmología.

Dentro de la amplia variedad de funciones matemáticas existentes se encuentran algunas que presentan comportamientos extraños e inesperados cuando se le asignan determinados valores a la/s variable/s independiente/s. Dicho comportamiento se describe con el nombre de singularidad de la función.

Concepto intuitivo de continuidadEditar

Intuitivamente se asocia la idea de continuidad de una función al hecho de no levantar el lápiz cuando se representa la función. Las discontinuidades generalmente se clasifican en varios tipos, siendo las llamadas de salto uno de los tipos más frecuentes. Dentro de dicho tipo existen las discontinuidades de salto puntuales, en las que la función se desvía un único punto del camino más razonable; las discontinuidades de salto finito, en las cuales la función salta un valor y prosigue de forma continua a partir de ahí; y por último las discontinuidades de salto infinito, en las que la función alcanza un valor infinito. Estas últimas son las que reciben el nombre de singularidades.

Criterio de análisis de continuidad en funciones de una variable:

Una función   es continua en   si y sólo si:

  1.   está definido.
  2. Existe el límite de   cuando   tiende a  .
  3. El límite de   cuando   tiende a   coincide con  .

Funciones singularesEditar

Existe una gran variedad de funciones elementales que contienen singularidades en sus dominios. Una de las más comunes suele ser la hipérbola elemental  . Esta función posee una singularidad en el punto  , en dicho punto la función presenta un comportamiento asintótico que tiende al infinito. Dicha función pone de manifiesto la característica de que toda función racional cuyo denominador se anule presentará una singularidad en el punto en el que eso suceda. así pues la función   presentará una singularidad en el punto  . Otras funciones que contienen singularidades son   o  .

Análisis de las singularidadesEditar

Normalmente las singularidades no pueden estudiarse empleando técnicas aritméticas elementales, ya que suelen implicar operaciones que son imposibles de realizar (por ejemplo, dividir entre cero). En lugar de eso, el método preferido para analizar el comportamiento de las funciones en sus singularidades es el paso al límite. Estudiando el límite de una función en su punto singular se puede obtener información valiosa de su comportamiento en ese punto. Como ejemplo comentar que nadie puede calcular que   toma en el punto   el valor infinito, sin embargo, estudiando el valor que toma su límite en ese punto y analizando la tendencia de la función en las cercanías es posible asegurarlo.

Singularidades en variable complejaEditar

Sea  , y una función   se dice que   es singular en   si no es analítica en  .

Además, si   es una singularidad de  , decimos que es una singularidad no aislada si

  es singular en  .

Es decir, a una distancia arbitraria, se encuentra otra singularidad.

  es una singularidad aislada si no cumple con lo expresado anteriormente. Esto significa que puede tomarse cierta distancia alrededor del punto   en la cual este punto es la única singularidad.

Las singularidades aisladas pueden clasificarse en:

  • Evitables: Puede definirse un valor tal que   sea analítica en  .
  • Polares:   tiende a   al acercarse a  .
  • Esenciales: El límite no existe, y aún más, la función toma valores por todo el plano complejo (excepto uno) en un entorno a   y lo hace infinitas veces.

Es posible estudiar el tipo de singularidad aislada, mediante el desarrollo de Laurent en la corona centrada en  . Si la serie principal (la de potencias negativas) tiene finitos términos, se trata de una singularidad polar, caso contrario, es esencial. Lógicamente se desprende, que si el desarrollo de Laurent se reduce a una serie de Taylor, la singularidad es evitable.

Interpretación física de las singularidadesEditar

El estudio de las singularidades desde el punto de vista matemático se limita específicamente a resolver el problema de la función que no está definida en el punto de estudio. Teorías tales como el electromagnetismo clásico de Maxwell contienen singularidades en sus ecuaciones básicas. En la teoría de Maxwell una de las singularidades más conocidas es la que predice un campo eléctrico infinito en el lugar donde se encuentra colocada una carga puntual.

Una de las singularidades más famosas de la física es la que se encuentra en la solución de Schwarzschild de las ecuaciones de campo de la relatividad general, singularidad en el continuo espacio-tiempo que predice la existencia de agujeros negros.

Actualmente uno de los campos de discusión abiertos más apasionante de la física es aquel que pretende estudiar si hubo o no singularidad en el principio del universo y si la habrá en el final del mismo.

Véase tambiénEditar

Punto fronterizo
Punto estacionario
Punto singular
Punto de inflexión