Teorema de Chasles

El teorema de Chasles es una proposición de geodesia física. Considerando una función $v$ armónica fuera de una superficie $\Sigma$ y suponiendo además que $\Sigma$ es una "superficie equipotencial", entonces en esta superficie $\Sigma$ se tiene que $v=v_{o}$, siendo la cantidad $v_{o}$ una constante arbitraria. Para un punto $P$ fuera de $\Sigma$, la representación integral de una función armónica permite escribir

$v(P)=-{\frac {1}{4\pi }}\iint _{\Sigma }r^{-1}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} n}}\mathrm {d} \sigma +{\frac {v_{o}}{4\pi }}\iint _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} r^{-1}}{\mathrm {d} n}}\mathrm {d} \sigma$,

con $r$ que indica la distancia desde $P$ a cualquier punto en $\Sigma$. Ahora, de acuerdo con el teorema de Gauss-Bonnet para un punto externo, la segunda integral del miembro derecho se desvanece, por lo que resulta que

$v(P)=-{\frac {1}{4\pi }}\iint _{\Sigma }r^{-1}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} n}}\mathrm {d} \sigma$.

Esta fórmula se debe a Michel Chasles (1793-1880). Demuestra que cualquier función armónica puede representarse mediante un potencial de capa simple en cualquiera de sus superficies equipotenciales $v=$ const. En el caso particular del potencial gravitatorio $V$ de un cuerpo sólido situado en el interior de $\Sigma$, el teorema de Chasles afirma que siempre es posible sustituir el cuerpo sólido por una capa simple de la superficie de densidad uniforme para adaptarse a una de sus superficies equipotenciales externas sin cambiar el potencial en el exterior.​ Este teorema puede ser comparado con el teorema de unicidad de Stokes.

Referencias

• Datos: Q3527038