Teorema de Cochran

En estadística, el teorema de Cochran, creado por William G. Cochran, es un teorema utilizado para justificar los resultados relacionados con las distribuciones de probabilidad de estadísticas que se utilizan en el análisis de varianza.[1][2]

TeoremaEditar

Sean   variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas y que existen matrices semipositivas definidas   con

 

y supóngase que   donde   es el rango de  , si escribimos

 

entonces   es una forma cuadrática entonces el teorema de Cochran enuncia que las   con   son independientes y cada   tiene una distribución Chi-Cuadrada con   grados de libertad, esto es,  .

En regresión linealEditar

Sean   un vector aleatorio con distribución normal multivariada, donde   denota la matriz identidad de tamaño  , y   matrices simétricas de tamaño   con

 

entonces una de las siguientes condiciones implica las siguientes dos:

 
 
  es independiente de   para  .

Estimación de la varianzaEditar

Para estimar la varianza  , un estimador usado es el estimador por máxima verosimilitud de la varianza de una distribución normal

 

el teorema de Cochran demuestra que

 

y por las propiedades de la distribución Chi-Cuadrada se tiene que

 

ReferenciasEditar

  1. Cochran, W. G. (Abril de 1934). «The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178-191. doi:10.1017/S0305004100016595. 
  2. Bapat, R. B. (2000). Linear Algebra and Linear Models (Second edición). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9. 

BibliografíaEditar

  • Gut, Allan. An intermediate course in probability. Springer-Verlag New York, Inc. (1995). Pag. 141-142. Traducción libre realizada en la clase de Principios de Ingeniería de Información. Escuela de Ingeniería Industrial. Universidad de Carabobo. Venezuela. Jueves 13-05-2010; Prof. Ángel Carnevali, Brs: Oscar Mistage, Luis Bolívar, Luis Latuff, Karin Sanchez, Giuliano Salvadori, Carlos Páez.