Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es una caracterización de las funciones homogéneas.

EnunciadoEditar

Una función   se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario  :

 

Si una función   es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:
 
Es decir, de manera más simplificada:
 

DemostraciónEditar

Escribiendo   y  

 

diferenciando la ecuación con respecto a   encontramos, aplicando la regla de la cadena, que

 
 

Así que:

 

En concreto, eligiendo  , la anterior ecuación puede reescribirse como:

 ,

lo cual prueba el resultado.

Para una demostración del recíproco, ver [1].

  • Supongamos que   es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas paraciales de primer orden   son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo   y diferenciado la ecuación

 

con respecto a  , encontramos por la regla de la cadena que:

 

Y por tanto:

 

Y finalmente:

 

Aplicaciones del teoremaEditar

Aplicaciones en termodinámicaEditar

Si la función de estado termodinámica es:

  • Homogénea de grado 1: función de variables extensivas :  
  • Homogénea de grado 0: función de variables intensivas :  

BibliografíaEditar

  • Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
  • Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España