Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple y una integral doble sobre la región plana limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.

TeoremaEditar

Sean   una región simple cuya frontera es una curva   suave a trozos orientada en sentido positivo, si   es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a   entonces

 

donde  .

Demostración cuando es una región simpleEditar

 
Si   es una región simple con su límite consistente en las curvas  ,  ,  ,  , la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.

Lo siguiente es una demostración de la mitad del teorema para la región  , se demostrará cuando   es una región tipo I donde   y   son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Una demostración similar existe para la otra parte del teorema cuando se considera a   como una región tipo II donde   y   son curvas conectadas por curvas horizontalmente (y otra vez, posiblemente de longitud cero). Considerando estas dos partes, uno demuestra el teorema para una región de tipo III (definida como una región que es tanto de tipo I como de tipo II).

Puede demostrarse que si

 

y

 

son ciertas entonces el teorema de Green queda demostrado para la región  . Podemos probar la primera igualdad para regiones de tipo I y la segunda para regiones de tipo II con lo que el teorema de Green es válido para regiones de tipo III.

Si suponemos que   es una región de tipo I entonces   queda descrita como

 

donde   y   son funciones continuas en  . Calculando la integral doble de la primera igualdad tenemos

 

Ahora calculemos la integral de línea para la primera igualdad.   puede ser escrito como la unión de las cuatro regiones  ,  ,   y  .

Para   utilicemos las siguientes ecuaciones paramétricas   y   con   entonces

 

Para   utilicemos las siguientes ecuaciones paramétricas   y   con   entonces

 

La integral sobre   es negativa pues va de   a  . En   y  ,   es constante por lo que

 

Por lo que

 

De manera análoga se puede demostrar la segunda igualdad, combinando estos dos resultados, habremos demostrado el resultado para regiones de tipo III.

EjemploEditar

Podemos utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

 

donde   es la trayectoria orientada en sentido antihorario desde   hasta   a lo largo de la gráfica de   desde   hasta   a lo largo de la gráfica de  .

Como   y   entonces

 

Aplicando el teorema de Green

 

Para este ejemplo, el teorema de Green se utilizó para ahorrar tiempo pues evaluar la integral de línea en este caso es algo laborioso. Es importante notar que en este caso, es aplicable el teorema de Green pues satisface las hipótesis.

Relación con el teorema de StokesEditar

El teorema de Green es un caso especial en   del teorema de Stokes. El teorema enuncia

Sean   una región simplemente conexa,   su frontera orientada en sentido positivo y   un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre   entonces

 

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente   es constantemente  . Escribiremos   como una función vectorial  . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

 

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes

 

La superficie   es simplemente la región en el plano  , con el vector normal unitario   apuntando (en la dirección positiva de  ) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica  .

La expresión dentro de la integral queda

 

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

 

luego

 

Relación con el teorema de la divergencia o de GaussEditar

El teorema de Green es un caso especial en   del teorema de Gauss pues

 

donde   es un vector normal en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como   es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva   está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser  . El módulo de este vector es  . Por lo tanto  .

Tomando los componentes de  , el lado derecho se convierte en

 

que por medio del teorema de la divergencia resulta

 

Área de una región con el Teorema de GreenEditar

Si   es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región  , que denotaremos por  , acotada por   está dada por

 

EjemploEditar

Demostremos que el área de una elipse con semi ejes   es  .

La ecuación de una elipse es

 

que puede ser escrita como

 

Al hacer

 

Obtenemos que una parametrización de la frontera de la elipse, es decir, de   es

 

Entonces

 

Véase tambiénEditar

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