Teorema de Heine-Borel

En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}$ o de $\mathbb {C} ^{n}$ sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.^{[cita requerida]}

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos: $K$ es cerrado y acotado. $K$ es compacto. Todo subconjunto infinito de $K$ tiene un punto de acumulación en $K$.

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.

Historia y motivación

La historia de lo que hoy se llama teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de sólidos cimientos para el análisis real. Central en la teoría era el concepto de la continuidad uniforme y el teorema que indica que cada función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrarlo e implícitamente utilizó la existencia de un subconjunto finito de un conjunto abierto dado de un intervalo cerrado en su prueba.​ Utilizó esta prueba en sus conferencias de 1852, solamente publicadas en 1904.​ Más tarde Eduard Heine, Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en declarar y demostrar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación estaba restringida a conjuntos contables. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a conjuntos arbitrarios.​

Demostración

Teoremas preliminares

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos.

Sea $F$ un conjunto cerrado y $K$ un conjunto compacto tales que $F\subset K\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Sea $\{G_{a}\}$ una cubierta abierta de $F$, entonces $\{G_{a}\}\cup \{F^{c}\}$ es una cubierta abierta de $K$ (podemos agregar $F^{c}$ ya que es abierto). Como $K$ es compacto entonces $\{G_{a},F^{c}\}$ tiene un refinamiento finito que también cubre a $K$. Podemos quitar a $F^{c}$ y sigue cubriendo a $F$. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de $F$

Si $E\subset K\subset \mathbb {R} ^{n}$, donde $E$ es un conjunto infinito y $K$ es compacto, entonces $E$ tiene un punto de acumulación en $K$.

Si $E$ no tuviera puntos de acumulación en $K$ entonces $\forall a\in K\exists B_{\varepsilon }(a)$ tal que $B_{\varepsilon }(a)-a$ no contiene puntos de $E$ donde $B_{\varepsilon }$ es una epsilon-vecindad y $\varepsilon >0$. Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta para $E$ pero no tiene un refinamiento finito, esto también es cierto para $K$, que contradiría la definición de que es compacto.

Toda n-celda cerrada $I\subset \mathbb {R} ^{n}$ es compacta.

Sea $I\subset \mathbb {R} ^{n}$ una n-celda cerrada,

$I:=\left\{x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:a_{j}\leq x_{j}\leq b_{j},j=1,2,...,n\right\}$.

Entonces si $x,y\in I$, se verifica que $|x-y|<\delta$, con $\delta =(\sum (b_{j}-a_{j})^{2})^{1/2}$. Sea $\{G_{a}\}$ una cubierta arbitraria de $I\,$ y supongamos que $I$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G_{a}$'s.

Tomemos $c_{s}={\frac {a_{s}+b_{s}}{2}}$. Entonces los intervalos $[a_{s},c_{s}],[c_{s},b_{s}]$ determinan $2^{n}$ n-celdas $Q_{i},\quad i=1,2,...,2^{n}$. Entonces por lo menos un $Q_{i}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G_{a}$'s. Lo llamaremos $I_{1}$. Reiterando el proceso obtenemos una sucesión $\{I_{k}\}$ tal que:

1. $I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset ...$.
2. $I_{k}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G_{a}$'s.
3. Si $x,y\in I_{k}$ entonces $|x-y|<2^{-k}\delta$.
4. ${\cap }_{k}I_{k}\neq \emptyset$

Sea $h\in {\cap }_{k}I_{k}$. Como ${\cup }_{a}G_{a}$ cubre a $I$ entonces $h\in G_{b}\subset {\cup }_{a}G_{a}$. Como $G_{b}$ es abierto $\exists B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}$. Si tomamos k suficientemente grande tal que $2^{-k}\delta <\varepsilon$ tenemos que este $I_{k}\subset B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}$ lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de $G_{a}$'s.

Demostración del teorema de Heine-Borel

Si cumple 1) entonces $E\subset I$ para alguna k-celda $I$, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si $E$ no es acotado, entonces contiene un conjunto {$x_{n}$} tal que $|x_{n}|>n$ entonces el subconjunto {$x_{n}$} es infinito pero no tiene puntos de acumulación en $\mathbb {R} ^{n}$, lo cual contradice 3). Si $E$ no es cerrado, entonces existe un elemento $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ que es un punto de acumulación de $E$ pero no está en $E$. Para $n=1,2,...$ existen $x_{n}\in E$ tales que $|x_{n}-x_{0}|<1/n$, entonces el conjunto {$x_{n}$} es un subconjunto infinito de $E$ cuyo único punto de acumulación es el $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, que no pertenece a $E$, lo que contradice 3).

Véase también

• Conjunto de Borel

Notas

• Datos: Q253214