Teorema de Heine-Borel

En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de o de sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.[cita requerida]

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:

  1. es cerrado y acotado.
  2. es compacto.
  3. Todo subconjunto infinito de tiene un punto de acumulación en .

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.

Historia y motivaciónEditar

La historia de lo que hoy se llama teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de sólidos cimientos para el análisis real. Central en la teoría era el concepto de la continuidad uniforme y el teorema que indica que cada función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrarlo e implícitamente utilizó la existencia de un subconjunto finito de un conjunto abierto dado de un intervalo cerrado en su prueba.[1]​ Utilizó esta prueba en sus conferencias de 1852, solamente publicadas en 1904.[1]​ Más tarde Eduard Heine, Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en declarar y demostrar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación estaba restringida a conjuntos contables. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a conjuntos arbitrarios.[2]

DemostraciónEditar

Teoremas preliminaresEditar

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea   un conjunto cerrado y   un conjunto compacto tales que  .

Sea   una cubierta abierta de  , entonces   es una cubierta abierta de   (podemos agregar   ya que es abierto). Como   es compacto entonces   tiene un refinamiento finito que también cubre a  . Podemos quitar a   y sigue cubriendo a  . Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de  

Si  , donde   es un conjunto infinito y   es compacto, entonces   tiene un punto de acumulación en  

Si   no tuviera puntos de acumulación en   entonces   tal que   no contiene puntos de   donde   es una epsilon-vecindad y  . Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta para   pero no tiene un refinamiento finito, esto también es cierto para  , que contradiría la definición de que es compacto.

Toda k-celda es compacta

Sea   una k-celda que consiste de todos los puntos x  tal que   y  . Sea   entonces si    . Sea   una cubierta arbitraria de   y supongamos que   no se puede cubrir con una cantidad finita de  's.

Tomemos   entonces los intervalos   determinan   celdas  . Entonces por lo menos un   no se puede cubrir con una cantidad finita de  's. Lo llamaremos   y así obtenemos una sucesión   tal que:

  1.  .
  2.   no se puede cubrir con una cantidad finita de  's.
  3. Si   entonces  .
  4.  

Digamos que  , como   cubre a   entonces  . Como   es abierto  . Si tomamos n suficientemente grande tal que   tenemos que este   lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de  's.

Demostración del teorema de Heine-BorelEditar

Si cumple 1) entonces   para alguna k-celda  , y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si   no es acotado, entonces contiene un conjunto { } tal que   entonces el subconjunto { } es infinito pero no tiene puntos de acumulación en  , lo cual contradice 3). Si   no es cerrado, entonces existe un elemento   que es un punto de acumulación de   pero no está en  . Para   existen   tales que  , entonces el conjunto { } es un subconjunto infinito de   cuyo único punto de acumulación es el  , que no pertenece a  , lo que contradice 3).

Véase tambiénEditar

NotasEditar

  1. a b Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). «A Pedagogical History of Compactness». American Mathematical Monthly 122 (7): 619-635. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. Consultado el 7 de diciembre de 2015. 
  2. Sundström, Manya Raman (2010). «A pedagogical history of compactness». arXiv:1006.4131v1  [math.HO].