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Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

En teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito (su número de elementos) con el orden de cualquiera de sus subgrupos. El teorema afirma que si es un grupo finito y es un subgrupo de , entonces

(1)

donde y son el orden del grupo y el orden del subgrupo , en tanto que es el índice de en .

El recíproco del teorema de Lagrange, en general, no se cumple, pues existen grupos de orden que pueden no tener un subgrupo de orden a pesar de que . Por ejemplo, el grupo simétrico tiene orden 24 y no tiene ningún subgrupo de orden 6. En general, los grupos no resolubles son ejemplos en los que el recíproco del teorema de Lagrange no se cumple. En cambio, el recíproco del teorema de Lagrange es siempre cierto para el caso de grupos abelianos, y por tanto lo es también para grupos cíclicos.

El teorema debe su nombre al matemático italiano Joseph-Louis de Lagrange, quien lo publicó en 1771.[1]

DemostraciónEditar

Consideremos inicialmente una relación de equivalencia   sobre un grupo finito G, definida como:

 

Dado que sabemos por hipótesis que G es finito, sabemos que únicamente puede existir un número finito de clases de equivalencia distintas, es decir, el índice de H en G es finito. Se puede demostrar que:

 

es la clase de equivalencia de g para la relación  . Supongamos entonces que las clases de equivalencia distintas son:  . Dado que son distintas y son todas las posibles, G es la unión disjunta de estas clases:

 

Sea  . Fijado un entero  , de la igualdad   se deduce que  . Por tanto, los elementos de la clase   son todos distintos, ya que:

 

Así,  , luego  . Entonces,   divide a   y de hecho m es el índice  , ya que:

 

Por lo tanto:

 

quedando con esto demostrado el enunciado del teorema.

ConsecuenciasEditar

Considerando un elemento   cualquiera, el subgrupo generado por a debe satisfacer el teorema de Lagrange. Por lo tanto, el orden de cualquier elemento de G, que coincide con el cardinal del subgrupo generado por él, divide al orden de G.[2]

Consecuencia inmediata de lo anterior es que todo grupo   de orden primo   es cíclico, pues el orden de un elemento   de   distinto de la identidad sólo puede ser  , y así   es un generador de  .

A partir del teorema de Lagrange puede, por ejemplo, demostrarse que si   son subgrupos finitos de un grupo  , entonces

(2) ,

donde   (este conjunto puede no ser un subgrupo de  ).

El teorema de Lagrange proporciona una forma interesante de demostrar que el orden del grupo simétrico   de las permutaciones de   símbolos es  .[3]​ Además, si   es el subgrupo alternante de  , entonces

 

pues  .

GeneralizaciónEditar

El teorema de Lagrange es en realidad un caso especial del hecho siguiente:

Si   y   son dos subgrupos de un grupo  , siendo   a su vez un subgrupo de  , entonces

(3) 

(fórmula de transitividad del índice)

En este caso   y los subgrupos   pueden ser infinitos. Así, el teorema de Lagrange se convierte en un caso particular de este hecho, pues (1) resulta de tomar   como el subgrupo trivial de   en la ecuación (3).

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

  • Lang, Serge (2002). Algebra. Nueva York: Springer-Verlag. 
  • Rowen, L (1994). A K Peters, ed. Groups, Rings and Fields. Massachusetts. 
  • Grillet, P. A. (2007). Abstract Algebra. Nueva York: Springer. 
  • Artin, Michael (2010). Algebra (2ª edición). Pearson.