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Los teoremas de isomorfía, o más propiamente, teoremas de isomorfía de Noether, son tres resultados importantes de la teoría de grupos. Estos teoremas relacionan a los grupos con sus grupos cociente, y son de gran utilidad para construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente.

Pocos cambios no esenciales hacen a estos teoremas válidos también en términos de anillos y módulos en lugar de grupos.

Primer teorema de isomorfíaEditar

Sea   un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo  , y por tanto

 

La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfía se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente:

donde   es la proyección canónica de   en  .


El primer teorema de isomorfía de Noether es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.

EjemplosEditar

  • Considérese el epimorfismo natural   dado por

 

Es claro que   si y sólo si  , luego  , así que

 


 

Segundo teorema de isomorfíaEditar

Si   y   son subgrupos de un grupo  , con   normal en  , entonces

 

Este segundo teorema de isomorfía se deduce del primero, pues si   es normal a G entonces también lo es   en  , y puede demostrarse que el epimorfismo

 

cumple con  . Si   y   son proyecciones canónicas, entonces la construcción del isomorfismo   se describe por el diagrama conmutativo siguiente:

Tercer teorema de isomorfíaEditar

Si   y   son subgrupos normales de un grupo  , con  , entonces

 

Esto da lugar al diagrama conmutativo siguiente

 


donde   son proyecciones canónicas,   es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.

Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfía. Para una demostración de este teorema, así como de los dos primeros teoremas de isomorfía, véase, por ejemplo, el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales

Referencias BibliográficasEditar

  1. Aragno, Deborah C. (1999). Schaum's Outline of Abstract Algebra. McGrawHill. 0-07-06995-0. 
  2. Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra. McGrawHill. ISBN 0-07002-655-6. 
  3. Dean, Richard A. (1990). Classical Abstract Algebra 1990. Harper & Row. 0-06-041601-7. 
  4. Fraleigh, John B. (2002). A first course in Abstract Algebra. Addison Wesley. 0-20176-390-7. 
  5. Herstein, I. N. (1975). Topics In Algebra. Wiley. 0-471-01090-1. 
  6. Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I 2nd Ed. Dover. 
  7. McCoy, Nel Henry (1995). Introduction to Modern Algebra. 5th Ed (5th edición). Primis. 0-69727-769-0. 
  8. Steinberger, Mark (1994). Algebra (en inglés). International Thomson Publishing. 

Referencias WEBEditar

  1. «Álgebra Abstracta» (en español,
    Notas de un Curso Universitario de Álgebra Abstracta.). 2015.