Teorema de Taniyama-Shimura

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El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil, que fuera propuesto por los matemáticos japoneses Yutaka Taniyama y Gorō Shimura.[1]​ En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

EnunciadoEditar

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

 

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que  ,  ,   y   son números racionales.

Una forma modular es una función analítica   del semiplano superior

 

a los complejos  , tal que   satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas   para todo   y algún entero   fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica   con coeficientes racionales existe una forma modular   (de peso 2) tal que la serie   asociada a   y la serie   asociada a   coinciden. Esto equivale a que los coeficientes   asociados a la curva   (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo  , para   primo de buena reducción de  ) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de  .


HistoriaEditar

Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995.[2]​ Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.[3]​ Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Este último se suicidó a los 31 años en 1958.

CitasEditar

  1. Singh, 2007, p. 193
  2. Wiles, Andrew Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551
  3. Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), pp. 843–939. Contains the proof of the modularity theorem

ReferenciasEditar

  • Aczel, Amir D.: El último teorema de Fermat, Fondo de cultura económica, México,publicado año 2003.