Teorema del límite central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si es la suma de variables aleatorias independientes, con media conocida y varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.[1][2]

El nombre viene de un documento científico escrito por George Pólya en 1920, titulado Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem[3]​ [Sobre el «teorema del límite» (Grenzwertsatz) central del cálculo probabilístico y el problema de los momentos], por lo que la denominación más fiel a la original sería teorema central del límite.

IntroducciónEditar

Recordemos que si   es una variable aleatoria tal que   entonces su función de densidad está dada por

 

para   donde   denota la media y   la varianza de la variable aleatoria  . En particular cuando   y   obtenemos

 

es decir, la distribución normal estándar, denotada por  .

Se define la variable aleatoria   como la suma de   variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con una media   y varianza  , es decir

 

donde   y  . Con lo anterior, la media de   es   y la varianza es   pues son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de   como

 

para que la media de la nueva variable sea igual a   y la desviación estándar sea igual a  . Así, la variable   convergerán en distribución a la distribución normal estándar   cuando   tienda a infinito. Como consecuencia, si   es la función de distribución de   para cada número real   entonces

 

donde   indica probabilidad y   se refiere a límite matemático.

TeoremaEditar

De manera formal y compacta el teorema enuncia[4]

Sean   variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con   y  , se define

 

Entonces la función de distribución de   converge hacia la función de distribución normal estándar cuando  , es decir,

 

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada   en función de la media muestral  , es decir

 

puesto que son equivalentes (sólo se divide tanto numerador como denominador entre  ).

Es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de la variable aleatoria  , excepto la existencia de media y varianza.[5]

PropiedadesEditar

  • El teorema del límite central garantiza una distribución aproximadamente normal cuando   es suficientemente grande.
  • Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.
  • La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

Varianza nula o infinitaEditar

En el caso de   variables aleatorias   independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con varianza nula o infinita, la distribución de las variables

 

no convergen en distribución hacia una normal.

A continuación se presentan los dos casos por separado.

Varianza infinitaEditar

Considérese el caso de variables que siguen una distribución de Cauchy:

 

En este caso puede demostrarse que la distribución asintótica de   viene dada por otra distribución de Cauchy:

 

Para otras distribuciones de varianza infinita no es fácil dar una expresión cerrada para su distribución de probabilidad aunque su función característica sí tiene una forma sencilla, dada por el teorema de Lévy-Khintchine:[6]

 

donde   y:

 

Las condiciones anteriores equivalen a que una distribución de probabilidad sea una distribución estable.

Varianza nulaEditar

Este caso corresponde trivialmente a una función degenerada tipo delta de Dirac cuya función de distribución viene dada por:

 

En este caso resulta que la variable   trivialmente tiene la misma distribución que cada una de las variables independientes.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Filmus, Yuval (enero a febrero de 2010). Two Proofs of the Central Limit Theorem (en inglés). pp. 1-3. Consultado el 13 de diciembre de 2010. 
  2. Grinstead, Charles M.; Snell, J. Laurie (1997). «9. Central Limit Theorem». Introduction to Probability (PDF) (en inglés) (2 edición). AMS Bookstore. pp. 325-360. ISBN 0821807498. Consultado el 15 de abril de 2009. 
  3. «The central limit theorem around 1935». Statistical Science (en inglés) 1 (1). 1986. pp. 78-91. doi:10.2307/2245503. 
  4. Charles Stanton. «Central limit theorem». Probability and Statistics Demos (en inglés). Archivado desde el original el 2 de junio de 2010. Consultado el 13 de diciembre de 2010. 
  5. Wasserman, Larry (2004). «5. Convergence of Random Variables». All of Statistics (en inglés). Springer. p. 77. ISBN 0-387-40272-1. 
  6. P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada: Teoría de la Probabilidad, p. 521-522
  • Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de julio de 2004). «Teorema central del límite» (PDF). Consultado el 15 de diciembre de 2010. 
  • Behar Gutiérrez, Roberto; Grima Cintas, Pere (2004). 55 respuestas a dudas típicas de Estadística. Madrid: Ediciones Díaz de Santos, S.A. pp. 187-189. ISBN 84-7978-643-4. 

Enlaces externosEditar