Teorema del valor medio

propiedad de las funciones derivables en un intervalo

En matemáticas, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (véase también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial.

De manera precisa el teorema enuncia que si es una función continua en un intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto entonces existe un punto en tal que la recta tangente en el punto es paralela a la recta secante que pasa por los puntos y , esto es

HistoriaEditar

Un caso especial de este teorema fue descrito por primera vez por Paramésuara (1370–1460), de la escuela de Kerala de astronomía y matemáticas en la India, en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhaskara II.[1]​ Una forma restringida del teorema fue demostrada por Michel Rolle en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como teorema de Rolle, y se demostró sólo para polinomios, sin las técnicas de cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue declarado y probado por Cauchy en 1823.[2]

TeoremaEditar

 
Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua en   y derivable en el intervalo abierto   entonces existe al menos algún punto c en el intervalo   en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado  .

Sea   una función continua en el intervalo cerrado   y diferenciable en el intervalo abierto   con   entonces existe al menos algún punto   tal que

 

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, las hipótesis son que si una función   es continua en   y diferenciable en   y toma valores iguales en los extremos del intervalo, esto es,   entonces existe al menos algún punto   tal que  , esto es, el lado derecho de la expresión anterior es cero.

DemostraciónEditar

Demostración 1Editar

Primero se consideran dos puntos   y   pertenecientes al gráfico de la función. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

 

Se define una función auxiliar:

 

Dado que   es continua en   y diferenciable en   entonces   también lo es. Además   satisface las condiciones del Teorema de Rolle en   ya que:

 

Por el Teorema de Rolle, como   es diferenciable en   y   entonces existe un punto   tal que   y por tanto:

 

y así

 

que es lo que se quería demostrar.

Demostración 2Editar

Sea   la pendiente de la recta secante entre  , se define la ecuación punto-pendiente:

 
 

o también,

 

De acuerdo al enunciado la función es derivable en  , por lo que se puede escoger algún valor   en dicho intervalo tal que   existe y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma (punto-pendiente):

 

o también,

 

Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2

 

La matriz del sistema es:

 

Y su determinante es:

 

Para que el sistema no tenga solución se debe cumplir det(A)=0, por lo tanto las rectas son paraleas en x=c, es decir f'(c) = mab

Entonces, existe al menos un punto que no da solución al sistema y además la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b, es decir:

 

o también,

 

Con ello queda demostrado el teorema del valor medio.

Teoremas del valor medio para integrales definidasEditar

Primer teorema del valor medio para integrales definidasEditar

Sea   una función continua en el intervalo   entonces existe un valor   tal que[3]

 

Dado que el valor medio de   en   está definido como

 

por lo que podemos interpretar que   alcanza su punto medio en algún  .

En general, si   es continua y   es una función integrable que no cambia signo en   entonces existe   tal que

 

Demostración 1Editar

Supóngase que   es continua y que   es una función integrable no negativa en  , por el teorema del valor extremo existen   y   tal que para     y  , como   es no negativa entonces

 

Sea

 

si   entonces ya terminamos pues

 

esto es

 

por lo que para todo  

 

Si   entonces

 

por el teorema del valor intermedio, existe al menos un   tal que

 

esto es

 

Finalmente, si   es negativa en   entonces

 

y seguiremos obteniendo el mismo resultado que antes.

Demostración 2Editar

Aplicando la integración de Riemann

 

La suma aloja todos los   dentro del intervalo  , por lo que procederemos a escoger un   fijo de dicho intervalo y que por ende hace que  

Al reemplazar, la integral queda de la siguiente manera:

 

como   es constante respecto a la suma entonces

 

Reemplazando

 

Simplificando

 

Como   y   no son afectados por el límite ya que son constantes entonces

 

Despejando  

 

Por lo tanto, queda verificado la existencia de   en donde la función evaluada en él, toma el valor de  , es decir,

 

Y así, queda demostrado el teorema del valor medio para integrales.

Teorema del valor medio en varias variablesEditar

El teorema del valor medio se puede generalizar para funciones reales de argumento vectorial. Esto se puede hacer parametrizando a la función y usando el teorema del valor medio de una variable.

Sea   un subconjunto abierto y convexo de   y sea   una función diferenciable. Sean   y definamos   . Como   es una función diferenciable de una variable, el teorema del valor medio nos da:

 

para algún   entre 0 y 1. Pero aparte tenemos   y   , calculando   tenemos, explícitamente:

 

donde   denota al gradiente y   al producto interno. Esto es un análogo exacto del teorema del valor medio en una variable (en el caso   éste es de hecho el teorema en una variable). Por la desigualdad de Cauchy–Schwarz, la ecuación nos da la estimación:

 

En particular, cuando las derivadas parciales de   están acotadas,   es Lipschitz continua (y por lo tanto uniformemente continua). Cabe mencionar que no requerimos que   sea continuamente diferenciable o continua en la cerradura de   . Sin embargo, para calcular   usando la regla de la cadena, necesitamos que   sea diferenciable en  ; la existencia de las derivadas parciales con respecto a   y   no es por sí misma una condición suficiente para garantizar la validez del teorema.

Como una aplicación directa del teorema, podemos demostrar que   es contante si   es abierto, conexo y toda derivada parcial de   es 0. Sea un punto arbitrario   , y sea   . Queremos demostrar que   para todo   . Sea ahora   . EntoncesE es cerrado y no vacío.

 

para cada   en alguna vecindad de   . (En este paso es muy importante que   y   estén suficientemente cerca.) Como   es conexo, concluimos que   .

Los argumentos anteriores no dependen de nuestro sistema de coordenadas; por lo tanto se pueden generalizar en caso de que   sea un subconjunto de un espacio de Banach.

GeneralizacionesEditar

No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones  . En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:

 

DemostraciónEditar

Teniendo en cuenta que dada una función  

 

se tiene que si

 

es el segmento formado por   (siendo A conexo y abierto), es   y entonces

 

de donde se tiene que como

   

es

  para algún  

Para ver [1] basta tener en cuenta que si  

 

y se tiene que

 

CorolarioEditar

Sea la función h tal que

  • es continua sobre un intervalo finito o infinito ya que...
  • tiene derivada nula en cualquier punto de este intervalo, salvo un conjunto finito de puntos del intervalo

entonces esta función es constante sobre este intervalo.[4]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor History of Mathematics archive.
  2. A. Besenyei, Historical development of the mean value theorem, http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf
  3. Ver "Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol. I". R. Courant & J. Fritz. Ed. Limusa. p. 163.
  4. L. D. Kudriátsev: Curso de análisis matemático 1 . Editorial Mir, Moscú (1983), traducido del ruso por V. Fernández
  • Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Enlaces externosEditar