Teoremas de isomorfismo

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Los teoremas de isomorfismo o, más propiamente, teoremas de isomorfismo de Noether, son tres resultados importantes de la teoría de grupos. Estos teoremas relacionan a los grupos con sus grupos cociente, y son de gran utilidad para construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente.

Pocos cambios no esenciales hacen a estos teoremas válidos también en términos de anillos y módulos en lugar de grupos.

Su nombre se debe a la matemática alemana Emmy Noether, quien formuló estos resultados de forma general en 1927.

Primer teorema de isomorfismoEditar

Sea   un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo  , y por tanto

 

La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfismo se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente:

donde   es la proyección canónica de   en  .

Demostración

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

 
Descomposición canónica del homomorfismo f.

donde

 

es la aplicación de proyección en el cociente, y   la inclusión.

Definimos

 

Esta aplicación está bien definida, pues no depende de la elección del representante de gK. Supongamos que  . Entonces   y por tanto

 , con lo cual  .

Además es un homomorfismo, puesto que

 .

  es uno a uno: supongamos que  . Entonces   y  , con lo que  .

Para ver que es sobreyectiva basta observar que para todo   existe   tal que  . En consecuencia  .

Con esto queda demostrado que   es un isomorfismo.[1]

El primer teorema de isomorfismo de Noether es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.

EjemplosEditar

  • Considérese el epimorfismo natural   dado por

 

Es claro que   si y sólo si  , luego  , así que

 


 

Segundo teorema de isomorfismoEditar

Si   y   son subgrupos de un grupo  , con   normal en  , entonces

 

Este segundo teorema de isomorfismo se deduce del primero, pues si   es normal a G entonces también lo es   en  , y puede demostrarse que el epimorfismo

 

cumple con  . Si   y   son proyecciones canónicas, entonces la construcción del isomorfismo   se describe por el diagrama conmutativo siguiente:

Tercer teorema de isomorfismoEditar

Si   y   son subgrupos normales de un grupo  , con  , entonces

 

Esto da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

 


donde   son proyecciones canónicas,   es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.

Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfismo. Para una demostración de este teorema, así como de los dos primeros teoremas de isomorfismo, véase, por ejemplo, el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.

ReferenciasEditar

  1. Rotman, 1999, p. 35.

BibliografíaEditar

  • Aragno, Deborah C. (1999). Schaum's Outline of Abstract Algebra. McGrawHill. 0-07-06995-0. 
  • Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra. McGrawHill. ISBN 0-07002-655-6. 
  • Dean, Richard A. (1990). Classical Abstract Algebra 1990. Harper & Row. 0-06-041601-7. 
  • Fraleigh, John B. (2002). A first course in Abstract Algebra. Addison Wesley. 0-20176-390-7. 
  • Herstein, I. N. (1975). Topics In Algebra. Wiley. 0-471-01090-1. 
  • Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I 2nd Ed. Dover. 
  • McCoy, Nel Henry (1995). Introduction to Modern Algebra. 5th Ed (5th edición). Primis. 0-69727-769-0. 
  • Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª edición). Springer. 
  • Steinberger, Mark (1994). Algebra (en inglés). International Thomson Publishing. 

Enlaces externosEditar