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La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función [nota 1]​ definida para todos los números positivos , es la función

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) es una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de .
es llamado el operador de la transformada de Laplace.

Índice

Perspectiva históricaEditar

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:

 
 

— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

 

— que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

 

— análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.

Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.

La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:

 

— donde D es el operador diferencial, esto es,  , entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:

 .

Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

 

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:

 

— ésta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

 

Heaviside propuso despejar y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

 

Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

 

 

Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.

Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

PropiedadesEditar

LinealidadEditar

 

DerivaciónEditar

 .

 

   

IntegraciónEditar

 

DualidadEditar

 

Desplazamiento de la frecuenciaEditar

 

Desplazamiento temporalEditar

 
 

Nota:   es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésimaEditar

 

ConvoluciónEditar

 

Transformada de Laplace de una función con periodo pEditar

 

Condiciones de convergenciaEditar

  (que crece más rápido que  ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que  , es una función de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicialEditar

Sea una función   derivable a trozos y que   Entonces :

 

  es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor finalEditar

Sea  una función derivable a trozos tal que  .Entonces :

 

  es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Demostración de las propiedades de la transformada de LaplaceEditar

1 - Propiedades de linealidadEditar

Partiendo de la propia definición de transformada,

 

 

2 - Propiedades de la transformada de una derivadaEditar

Suponga que   es continua para  , partimos de la propia definición de la transformada e integramos por partes,

 

3 - Propiedad de desplazamiento en el eje SEditar

Esta propiedad es obtenida a través de la sustitucion de   por   por definición de la transformada.

 

 

4 - Propiedad de desplazamiento en el eje tEditar

Esta propiedad es obtenida a través de la definición, sabiendo que la definición de una función Heaviside,

 

Es necesario hacer las substituciones   y  , resultando tras sustituir,

 

Así, usando la definición de la transformada y volviendo a t,

 

5 - Propiedades de la transformada de una integralEditar

Siendo   e  , usando las propiedades de la transformada de una derivada, tenemos:

 

Sabiendo que  ,

 

6 - Propiedades de la transformada de la delta de DiracEditar

Conociendo previamente la función delta de Dirac, saliendo de la propia definición,

 

7 - Propiedades de la transformada de funciones periódicasEditar

Usando la definición de transformada, y teniendo conocimiento previo de la función periódica.

 , es necesario hacer la sustitución   y  , así como sustituir en todos los términos. Ejemplo del segundo término:  , haciendo para los diversos términos,  , la serie de términos a seguir es una serie geométrica que converge en  , entonces la transformada de las funciones periódicas,

 

8 - Propiedades de la derivada de una transformadaEditar

Usando la definición de transformada,

 

 

9 - Propiedades de la integral de una transformadaEditar

Integrando la función en el espacio de las transformadas,  , se integra primero en   y después en  ,

 

Tabla de las transformadas de Laplace más comunesEditar

La siguiente tabla esta provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

 

 

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella   denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

ID Función Dominio en el tiempo
 
Dominio en la frecuencia
 
Región de la convergencia
para sistemas causales
1 retraso ideal    
1a impulso unitario      
2 enésima potencia retrasada y con
desplazamiento en la frecuencia
     
2a n-ésima potencia      
2a.1 q-ésima potencia      
2a.2 escalón unitario      
2b escalón unitario con retraso      
2c Rampa      
2d potencia n-ésima con cambio de frecuencia      
2d.1 amortiguación exponencial      
3 convergencia exponencial      
3b exponencial doble      
4 seno      
5 coseno      
5b seno con fase      
6 seno hiperbólico      
7 coseno hiperbólico      
8 onda senoidal con
amortiguamiento exponencial
     
9 onda cosenoidal con
amortiguamiento exponencial
     
10 raíz n-ésima      
11 logaritmo natural      
12 Función de Bessel
de primer tipo,
de orden n
     
 
13 Función de Bessel modificada
de primer tipo,
de orden n
     
14 Función de Bessel
de segundo tipo,
de orden 0
     
15 Función de Bessel modificada
de segundo tipo,
de orden 0
     
16 Función de error      
Notas explicativas:
  •  , un número real, típicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variable independiente.
  •   es la frecuencia angular compleja.
  •  ,  ,  , y   son números reales.
  •  es un número entero.

sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para sistemas anticausales. Véase también causalidad.

Relación con otras transformadasEditar

La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier y la transformada Z (véase por ejemplo: Relación de la transformada Z con la transformada de Laplace).

Véase tambiénEditar

NotasEditar

  1. En ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional.

ReferenciasEditar