Transformada de Laplace

En matemáticas, la transformada de Laplace es una transformada integral que convierte una función de variable real (normalmente el tiempo) a una función de variable compleja . Tiene muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería porque es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. En particular, transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.

HistoriaEditar

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de las formas:

 
 

como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

 

que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral como la siguiente:

 

análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de las hoy llamadas series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.

Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad —ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería—, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.

La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente, surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el «cálculo operacional», si se tiene una ecuación diferencial de la forma

 

donde   es el operador diferencial  , entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:

 .

Heaviside observó que si se trataba al operador   como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

 

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como en este ejemplo:

 

que puede reescribirse para resaltar el operador   como:

 

Heaviside propuso despejar y tratar a   algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

 

Sustituyendo las fracciones en   por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

 
 

Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando que sus resultados no podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que, finalmente, atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no solo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.

Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

DefiniciónEditar

La transformada de Laplace de una función   definida para todos los números reales  , es la función   definida por

 

siempre y cuando la integral esté definida.

Cuando   es una distribución con una singularidad en 0 entonces la transformada de Laplace se define como

 

NotaciónEditar

Comúnmente se denota la transformada de Laplace por   o   donde   es llamado el operador de la transformada de Laplace.

Transformada de Laplace bilateralEditar

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral, también existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

 

Que en ocasiones suele denotarse por   en lugar de  .

PropiedadesEditar

Sean   y   y   dos funciones definidas para   entonces la transformada de Laplace satisface las siguientes propiedades:

LinealidadEditar

 .

Primer teorema de traslaciónEditar

 

Segundo teorema de traslaciónEditar

Si   denota la función escalón unitario entonces

 

En ocasiones es más cómoda la siguiente expresión

 

Transformada de una derivadaEditar

Si   entonces

 .

donde   denota la  -ésima derivada de  .

Transformada de una integralEditar

 

Derivada de una transformadaEditar

Si   entonces

 

en particular cuando   obtenemos

 

Integral de una transformadaEditar

Si suponemos que   entonces

 

Transformada de una función periódicaEditar

Si   es una función periódica con periodo   entonces

 

ConvoluciónEditar

 

Transformada de la delta de DiracEditar

Para  

 

Condiciones de convergenciaEditar

Se puede establecer una condición suficiente para la convergencia mediante el concepto del orden exponencial.

Se dice que una función   es de orden exponencial   si existen constantes  ,   y   tales que   para todo  .

Por ejemplo, la función   puede ser considerada de orden exponencial para cualquier valor positivo de  , mientras que   no posee orden exponencial, pues crece con mayor rapidez que cualquier función de la forma   con  .

El teorema consiste en que para toda   continua por tramos definida en el intervalo   y de orden exponencial  , se tiene que   existe para  .

De modo que la función   posee transformada de Laplace para   y la existencia de la transformada de Laplace para la función  no está asegurada mediante este teorema.

Teorema del valor inicialEditar

Sea una función   derivable a trozos y que   entonces:

 

  es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor finalEditar

Sea  una función derivable a trozos tal que   entonces:

 

  es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

DemostracionesEditar

LinealidadEditar

Partiendo de la propia definición de transformada,

 

Primer teorema de traslaciónEditar

Esta propiedad se obtiene aplicando la definición de transformada y a través del cambio de variable  .

 

Segundo teorema de traslaciónEditar

Esta propiedad se demuestra por definición y teniendo en cuenta la definición de la función escalón unitario

 

Transformada de una derivadaEditar

Sólo se demostrará el caso para  , por definición

 

procedemos a utilizar integración por partes, definamos

 

entonces

 

Para demostrar el caso para cualquier   puede utilizarse inducción matemática.

Transformada de una integralEditar

Por definición

 

Derivada de una transformadaEditar

 

Integral de una transformadaEditar

Considere  , integrando ambos lados de la igualdad desde   hasta  

 

Transformada de una función periódicaEditar

Usando la definición de transformada tenemos que

 

para la segunda integral hagamos el cambio de variable   por lo que

 

entonces

 

Transformada de la delta de DiracEditar

Conociendo previamente la función delta de Dirac, saliendo de la propia definición,

 

EjemplosEditar

Ejemplo 1Editar

Por definición calculemos la transformada de Laplace de  

 

Ejemplo 2Editar

Utilizando el primer teorema de traslación hallemos la transformada de Laplace de  

 

Ejemplo 3Editar

Utilizando la derivada de una transformada hallemos la transformada de Laplace de  

 

Ejemplo 4Editar

Utilizando series hallemos la transformada de Laplace de  

 

al hacer   obtenemos

 

Por lo tanto

 

Ejemplo 5Editar

Utilizando transformada de una integral hallemos la transformada de Laplace de  .

 

Tabla de las transformadas de Laplace más comunesEditar

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

 
 

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella,   denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

ID Función Dominio en el tiempo
 
Dominio en la frecuencia
 
Región de la convergencia
para sistemas causales
1 retraso ideal    
1a impulso unitario      
2 enésima potencia retrasada y con
desplazamiento en la frecuencia
     
2a n-ésima potencia      
2a.1 q-ésima potencia      
2a.2 escalón unitario      
2b escalón unitario con retraso      
2c Rampa      
2d potencia n-ésima con cambio de frecuencia      
2d.1 amortiguación exponencial      
3 convergencia exponencial      
3b exponencial doble      
4 seno      
5 coseno      
5b seno con fase      
6 seno hiperbólico      
7 coseno hiperbólico      
8 onda senoidal con
amortiguamiento exponencial
     
9 onda cosenoidal con
amortiguamiento exponencial
     
10 raíz n-ésima      
11 logaritmo natural      
12 Función de Bessel
de primer tipo,
de orden n
     
 
13 Función de Bessel modificada
de primer tipo,
de orden n
     
14 Función de Bessel
de segundo tipo,
de orden 0
     
15 Función de Bessel modificada
de segundo tipo,
de orden 0
     
16 Función de error      
Notas explicativas:
  •  , un número real, típicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variable independiente
  •   es la frecuencia angular compleja
  •  ,  ,  , y   son números reales
  •  es un número entero

Sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, la respuesta al impulso para sistemas causales no es el mismo que la misma para sistemas anticausales.

Relación con otras transformadasEditar

La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier y la transformada Z (véase por ejemplo: Relación de la transformada Z con la transformada de Laplace).

Véase tambiénEditar

NotasEditar

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

Spiegel, Murray R. (2014). Transformadas de Laplace. McGraw Hill Interamericana de México. 

Enlaces externosEditar