Triángulo equilátero

triángulo con tres lados iguales

En geometría, un triángulo equilátero, es un polígono regular, es decir, tiene sus tres lados iguales.[1]​ En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos son iguales.

Triángulo equilátero
03-L Triángulo.svg
Tres lados iguales y sus tres ángulos son de 60°
Características
Lados 3
Vértices 3
Grupo de simetría
Símbolo de Schläfli {3/1}
Diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Polígono dual Triángulo equilátero
Área
Ángulo interior 60°
Un triángulo equilátero y sus ángulos principales

PropiedadesEditar

El triángulo equilátero tiene 11 ejes de simetría, cada uno pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Por simetría del triángulo equilátero, se tiene que:

  • Cada altura, mediana, bisectriz, mediatriz y eje de simetría de un triángulo equilátero coinciden sobre una misma recta. Por tanto el ortocentro, el baricentro, el incentro y el circuncentro coinciden en un mismo punto central.
  • Considerando el baricentro, como centro de rotación, las rotaciones de 0º, 120º y 240º llevan la figura sobre sí misma, las reflexiones sobre cada una de las medianas llevan la figura sobre sí misma. Luego se puede establecer un grupo de movimientos del triángulo equilátero de orden 6. Además las tres rotaciones forman un subgrupo cíclico.[2]
  • Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantemente congruentes

.

Solo hace falta saber que los ángulos son iguales y la suma tiene que ser 180º.

FormularioEditar

Fórmulas relativas al valor del lado   de un triángulo equilátero:

  • Su perímetro es:  
  • La altura es:  
 
Triángulo semejante de razón  
Aplicando el teorema de Pitágoras a una mitad del triángulo dividida por la altura se tiene que:  
  • La apotema es  .[3]
  • El radio de una circunferencia circunscrita es:  
  • El radio de una circunferencia inscrita es:  

Aplicando semejanza sobre la mitad del triángulo y uno de los pequeños.

Se deduce así que   y, por tanto, la distancia del centro a un vértices es el doble que la distancia del centro a una base.

  • El radio de la circunferencia exinscrita es  .[3]
  • La relación entre los tres radios citados anteriormente es   [3]​. Además,
 [4]
  • El semiperímetro es  [5]
  • El área es:  
    • El área en función de la altura   del triángulo es:  
    • El área en función del radio   de la circunferencia circunscrita es:  
    • El área en función del radio   de la circunferencia inscrita es: 
    • El área en función del radio   de la circunferencia exinscrita es: [3]

ConstruccionesEditar

Según símbolo de Schläfli se pueden obtener las siguientes construcciones:

  • {3/1} es el triángulo equilátero.

Utilización prehistóricaEditar

  • Se utilizaron triángulos equiláteros como base de las construcciones descubiertas en el yacimiento prehistórico de Lepenski Vir, en Serbia.
 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Triángulo equilátero». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7. 
  2. Fraleigh. Álgebra abstracta
  3. a b c d Sapiña, R. «Triángulo equilátero: calculadora y fórmulas». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 15 de julio de 2020. 
  4. Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). «An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications». Research Group in Mathematical Inequalities and Applications (en inglés) 11. 
  5. Dospinescu, G.; Lascu, M.; Pohoata, C.; Letiva, M. (2008). «An elementary proof of Blundon's inequality». Journal of inequalities in pure and applied mathematics (en inglés) 9. 

Matriz de traducciónEditar

Enlaces externosEditar