Trisectriz de Deslanges

curva plana notable por sus propiedades como trisectiz

La trisectriz de Deslanges (también escrito en ocasiones Delanges) es una curva que pertenece a la familia de las sectrices de Deslanges, que deben su nombre al ingeniero y matemático italiano Paolo Deslanges (c 1750-1810), quien las estudió en 1783.[1]​ Como otras curvas trisectrices, puede utilizarse como medio auxiliar para efectuar la trisección de un ángulo con regla y compás, si bien el uso de medios auxiliares es un procedimiento que queda fuera de los métodos admisibles por la geometría clásica.

Trisectriz de Deslanges

Definición geométricaEditar

 
Construcción de la trisectriz de Deslanges

La construcción geométrica de la trisectriz de Deslanges se basa en una circunferencia de centro O, de forma que los puntos de la trisectriz son el lugar geométrico determinado por la intersección de dos familias de rectas:

  • Rectas radiales desde el origen, con un ángulo   con respecto al eje X.
  • Rectas horizontales trazadas desde los puntos de intersección de semirrectas (con un ángulo   con respecto al eje X) y la circunferencia de centro O.

De acuerdo con la imagen adjunta,[1]​ para determinar un punto P, se trazan los dos radios OP1 (con ángulo  ) y OP2 (con ángulo  ), y desde el punto P1 (intersección del primer radio y la circunferencia) se traza una recta paralela al eje X, que se interseca con la semirrecta OP2 en el punto P.

EcuacionesEditar

De acuerdo con la definición geométrica, se tiene que la ecuación polar toma la forma:

 

Una forma equivalente de la ecuación en coordenadas polares, se vale de la función secante para compactar la expresión:[2]  (siendo   un parámetro para orientar la curva respecto al origen de los ángulos).

En coordenadas cartesianas, la ecuación de la trisectriz toma la forma:[1]

 

PropiedadesEditar

La trisectriz de Deslanges y el folium de Durero son curvas inversas entre sí con respecto a cualquier circunferencia que tenga su centro en el centro de simetría de ambas curvas.

TrisecciónEditar

 
Construcción de la trisección de un ángulo arbitrario

Para determinar la trisección de un ángulo arbitrario, se puede utilizar la construcción siguiente:

  • Trazar la circunferencia interior a la trisectriz, con centro en O y radio a.
  • Prolongar el radio representado con el ángulo arbitrario   hasta cortar la trisectriz, para hallar el punto P1.
  • Desde P1, lanzar la tangente a la circunferencia, para hallar el punto P2.
  • El ángulo P1OP2 mide  , siendo el ángulo buscado.

Sectrices de DeslangesEditar

Cuando se generaliza la fórmula de trisectriz para un valor   distinto de 2, se obtiene la siguiente expresión:[1]

 

a partir de la que se pueden generar sectrices de Deslanges de orden   (para   entero).

ImágenesEditar

 
Sectrices de Deslanges
 
La trisectriz de Deslanges y su inversa, el folium de Durero

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. a b c d «DELANGES TRISECTRIX AND SECTRIX». mathcurve (en inglés). Consultado el 17 de marzo de 2021. 
  2. Daniel J. Velleman, S. Wagon (2020). Bicycle or Unicycle?: A Collection of Intriguing Mathematical Puzzles. American Mathematical Soc. pp. 86 de 286. ISBN 9781470447595. Consultado el 17 de marzo de 2021. 

Enlaces externosEditar