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i en el plano complejo o de Argand. Los números reales se encuentran en el eje horizontal y los números imaginarios en el eje vertical.

La unidad imaginaria o unidad número imaginario (i) es una solución a la ecuación cuadrática x2 + 1 = 0 A pesar de que no hay número real con esta propiedad, i puede solo extender los números reales a qué se apellidan números complejos, utilizando adición y multiplicación. Un ejemplo sencillo del uso de i en un número complejo es 2 + 3i.

Los números imaginarios son un concepto matemático importante , los cuales extienden el sistema de número real al sistema de número complejo , el cual en vuelta proporciona al menos uno arraiga para cada nonconstant polinomio P(x). (Ve clausura Algebraica y teorema Fundamental de álgebra.) El plazo "imaginario" está utilizado porque hay no número real habiendo una plaza negativa.

Hay dos raíces cuadradas complejas de −1, concretamente i y −i, tan hay dos raíces cuadradas complejas de cada número real otro que cero, el cual tiene uno raíz cuadrada doble.

En contextos donde i es ambiguo o problemático, j o el griego ι es a veces utilizado (ve Plantilla:Section link notaciones Alternativas). En las disciplinas de control e ingeniería eléctricos ingeniería de sistemas, la unidad imaginaria es normalmente denotada por j en vez de i, porque i es generalmente utilizado para denotar corriente eléctrica.

Para la historia de la unidad imaginaria, ve Plantilla:Multi-section link de Plantilla:Multi-section link § Complejo.

DefiniciónEditar

Las potencias naturales de i

son valores cíclicos:
... (Repite el patrón de área azul)

i−3 = i
i−2 = −1
i−1 = −i
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
... (Repite el patrón del área azul)

El número imaginario i está definido sólo por la propiedad que su plaza es −1:

Con i definió de este modo, sigue directamente de álgebra que i y −i es ambas raíces cuadradas de −1.

A pesar de que la construcción se apellida "imaginaria", y a pesar de que el concepto de un número imaginario puede ser intuitively más difícil de coger que que de un número real, la construcción es perfectamente válida de un matemático standpoint. Operaciones de número real pueden ser extendidas a números imaginarios y complejos por tratar i como una cantidad desconocida mientras manipulando una expresión, y entonces utilizando la definición para reemplazar cualquier ocurrencia de i2 con −1. Poderes integrales más altos de i también puede ser reemplazado con −i, 1, i, o −1:

Como número complejo, i está representado en forma rectangular cuando 0 + 1⋅i  1⋅i, con un cero componente real y una unidad componente imaginario. En forma polar, i está representado cuando 1⋅eiπ/2 (o justo eiπ/2), con un valor absoluto (o magnitud) de 1 y un argumento (o ángulo) de π/2. En el avión complejo (también sabido como el Argand avión), el cual es una interpretación especial de un Cartesian avión), i es el punto localizó una unidad del origen a lo largo del eje imaginario (cuál es ortogonal al eje real).

i Y −iEditar

Siendo un polinomio cuadrático sin raíz múltiple, la ecuación de definir x2 = −1 tiene dos soluciones distintas, los cuales son igualmente válidos y cuáles pasan para ser aditivos y multiplicative inverses de cada otro. Más precisamente, una vez una solución i de la ecuación ha sido fijada, el valor −i, el cual es distinto de i, es también una solución. Desde la ecuación es la definición única de i, aparece que la definición es ambigua (más precisamente, no bien-definido). Aun así, #ninguno resultados de ambigüedad mientras uno u otro de las soluciones está escogida y etiquetados como "i", con el otro un entonces siendo etiquetado como −i. Esto es porque, a pesar de que −i y i no es quantitatively equivalente ( son negatives de cada otro), hay no diferencia algebraica entre i y −i. Ambos números imaginarios tienen reclamación igual a ser el número cuyo cuadrado es −1. Si todo matemático textbooks y la literatura publicada que refiere a números imaginarios o complejos estuvieron reescritos con −i reemplazando cada ocurrencia de +i (y por lo tanto cada ocurrencia de −i reemplazado por −(−i) = +i), todos los hechos y los teoremas continuarían ser equivalently válidos. La distinción entre las dos raíces x de x2 + 1 = 0 con uno de ellos etiquetados con un minus la señal es puramente un notational reliquia; tampoco la raíz puede ser dicha para ser más primario o fundamental que el otro, y tampoco de ellos es "positivos" o "negativos".[1]

El asunto puede ser un sutil un. La eℝ[x]/(x2 + 1)plicación más precisa es para decir que a pesar de que el campo complejo, definido cuando ℝ[x]/(x2 + 1) (ve número complejo), es único hasta isomorfismo, no es único hasta un isomorfismo único — allí es exactamente dos automorfismos de campo de ℝ[x]/(x2 ) cuáles mantienen cada número real fijado: la identidad y el automorfismo que envía x a −x. Ve también Complejo conjugate y Galois grupo.

MatricesEditar

      y      

Son soluciones a la ecuación matricial

 


En este caso, los resultados de ambigüedad de la elección geométrica del cual "la dirección" alrededor del círculo de unidad es "rotación" positiva. Una explicación más precisa es para decir que el grupo de automorfismo del grupo ortogonal especial ASÍ QUE(2, SO(2, ℝ) ha exactamente dos elementos—la identidad y el automorfismo qué intercambios "CW" (en el sentido de las agujas del reloj) y "CCW" (contador-en el sentido de las agujas del reloj) rotaciones. Ve grupo ortogonal.

Todas estas ambigüedades pueden ser solucionadas por adoptar una definición más rigurosa de número complejo, y explícitamente escogiendo un de las soluciones a la ecuación para ser la unidad imaginaria. Por ejemplo, el par ordenado (0, 1), en la construcción habitual de los números complejos con vectores bidimensionales.

Cuándo el conjunto de 2 × 2 M (2, ℝ)atrices reales M (2, ) está utilizado para una fuente, y el número un (1) está identificado con la matriz de identidad, y minus un (−1) con el negativo de la matriz de identidad, entonces hay muchas soluciones a X  = −1. De hecho, hay muchas soluciones a X 2 = +1 y X 2 = 0 también. Cualquiera tales #X pueden ser tomados como vector de base, junto con 1, para formar un planar subalgebra

Uso apropiadoEditar

La unidad imaginaria es a veces escrita √−1 en contextos de matemática adelantada (así como en menos textos populares adelantados). Aun así, necesidades de cuidado grande para ser tomados cuándo manipulando las fórmulas que implican radicales. La notación de señal radical está reservada cualquiera para la función de raíz cuadrada principal, el cual es sólo definido de verdad x ≥ 0 , o para la rama principal de la función de raíz cuadrada compleja. Intentando para aplicar las reglas de cálculo del principales (reales) función de raíz cuadrada para manipular la rama principal de la función de raíz cuadrada compleja puede producir resultados falsos:

     (incorrecta).

Igualmente:

     (incorrecta).

Son las reglas de calculo:

 

y

 


Es sólo válido de verdad, valores no negativos de un y b.[2]

PropiedadesEditar

Raíces cuadradasEditar

 
Las dos raíces cuadradas de i en el avión complejo
 
Las tres raíces de cubo de i en el avión complejo

i Tiene dos raíces cuadradas, justo gustar todos los números complejos (exceptúa cero, el cual tiene una raíz doble). Estos dos raíces pueden ser expresadas como los números complejos:[nb 1]

(x + iy)2 = i

donde x y y son parametros reales o equivalentes determinados

x2 + 2ixyy2 = i.

Como los terminos reales e imaginarios van separados, se reagrupan a:

x2y2 + 2ixy = 0 + i

y por coeficientes imaginarios, al separar el coeficiente real e imaginario,tenemos un sistema de dos ecuaciones:

x2y2 = 0
2xy = 1.

Substituyendo y = 1/2x en la primera ecuación, tenemos

x2 − 1/4x2 = 0
x2 = 1/4x2
4x4 = 1

Cómo x es un número real, es una ecuación con dos soluciones reales x: x = 1/2 and x = −1/2. Substityendo ambos resultados en la ecuación, tenemos 2xy = 1, despues, obtenemos y. Por lo que las raíces cuadradas de i son los números complejos de 1/2 + i/2 and −1/2i/2.

(University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)</ref>

 


Al elevar al cuadrado ambas expresiones se obtiene:

 

Utilizando la señal radical para la raíz cuadrada principal da:

 

Raíces de cuboEditar

Las tres raíces de cubo de i es:

 
 
 

Similar a todo de las raíces de 1, todo de las raíces de i es los vértices de polígonos regulares inscribieron dentro del círculo de unidad en el avión complejo.

Multiplicación y divisiónEditar

Multiplicando un número complejo por i da:

Dividiendo por i es equivalente a multiplicar por el recíproco de i:

Utilizando esta identidad para generalizar división por i a todos los números complejos da:

(Esto es equivalente a un 90° en el sentido de las agujas del reloj rotación de un vector sobre el origen en el avión complejo.)

PotenciasEditar

Los poderes de i repetir en un ciclo expresable con el patrón siguiente, donde n es cualquier entero:

Estas ventajas a la conclusión que

Dónde mod representa el modulo operación. Equivalently:

i elevado a la iEditar

Haciendo uso de la fórmula de Euler, ii es

Dónde



Z {\displaystyle k\en \mathbb {} } , el conjunto de enteros.

FactorialEditar

El factorial de la unidad imaginaria i es más a menudo dado en plazos del gamma la función evaluada en 1 + i i:

|
                !
       
                           =               π
             
               
               
                                                                           {\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi  \Sobre \sinh \pi }}}[3]

Otras operacionesEditar

Muchos operaciones matemáticas que puede ser llevado a cabo con los números reales también pueden ser llevados a cabo con i, como exponentiation, raíces, logarithms, y funciones trigonométricas. Todos de las funciones siguientes son complejos multi-valoró funciones, y tenga que ser claramente declaró qué rama de la Riemann emerge la función está definida encima en práctica. Listado abajo es resultados para el más rama escogida generalmente.

Un número levantó al ni el poder es:

El nith la raíz de un número es:

Cuando con cualquier complejo logarithm, la base de registro i no es singularmente definió.

El cosine de i es un número real:

Y el sine de i es puramente imaginario:

Notaciones alternativasEditar

  • En ingeniería eléctrica y relacionó campos, la unidad imaginaria es normalmente denotada por j para evitar confusión con corriente eléctrica como función de tiempo, tradicionalmente denotado por i(t) o justo i.[4]​ El lenguaje de programación de Pitón también utiliza j para marcar la parte imaginaria de un número complejo. MATLAB Asocia ambos i y j con la unidad imaginaria, a pesar de que 1i o 1j es preferible, para velocidad y robustez mejorada.[5]
  • Algunos textos utilizan la letra griega iota (ι) para la unidad imaginaria, para evitar confusión, especialmente con índice y subíndices.
  • Cada cual de i, j, y k es una unidad imaginaria en el quaternions. En bivectors y biquaternions una unidad imaginaria adicional h está utilizado.

Véase tambiénEditar

NotasEditar

  1. para encontrar el numero, se debe resolver esta ecuación

ReferenciasEditar

  1. Doxiadēs, Apostolos K.; Mazur, Barry (2012). Circles Disturbed: The Interplay of Mathematics and Narrative (illustrated edición). Princeton University Press. p. 225. ISBN 978-0-691-14904-2. 
  2. Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. 
  3. "abs(i!)", WolframAlpha.
  4. Boas, Mary L. (2006). Mathematical methods in the physical sciences (3. edición). New York [u.a.]: Wiley. p. 49. ISBN 0-471-19826-9. 
  5. «MATLAB Product Documentation». 

Lectura más lejanaEditar

  • An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. 1998. ISBN 0-691-02795-1. 

Enlaces externosEditar